Binômio de Newton: o que é, fórmula e exercícios!

O binômio de Newton é uma fórmula importante para a Matemática contemporânea. Sendo assim, ela é ensinada como parte necessária do currículo de estudantes de ensino médio. Pensando nisso, escrevemos este guia com as informações essenciais sobre o tema.

Aqui, você aprenderá sobre:

o que é o binômio de Newton;
descrição da fórmula desse binômio;
relação do triângulo de Pascal com o binômio de Newton;
exercícios de binômio de Newton desenvolvidos por quem realmente entende do assunto;

Do ponto de vista do vestibulando, conhecer o básico sobre essa teoria é essencial. É um tema recorrente em muitos processos seletivos país afora, inclusive no Enem. Preste atenção e você sairá daqui com o embasamento necessário para trabalhar o assunto. Vamos lá?

O que é o binômio de Newton?

Para definirmos esse teorema, primeiro vamos abordar o que significa um binômio. Basicamente, é uma expressão matemática composta por dois elementos. Qualquer fórmula propondo uma adição ou subtração de dois itens (x e y, por exemplo) pode ser considerada um binômio em termos algébricos.

No caso da fórmula popularizada por Newton, o foco está em conhecer as propriedades exponenciais dessas expressões. Exponencial quer dizer a multiplicação do enunciado sobre determinado grau: um, dois ou mais.

Binômio de Newton: fórmula

Como descrevemos, o binômio em questão refere-se à exponenciação de uma sentença algébrica. Podemos tomar como exemplo a seguinte formulação: (a + b)ⁿ . Nesse caso, a e b são números reais, e o elemento n corresponde ao valor sobre o qual esses elementos serão multiplicados, um número natural.

Produtos notáveis

Outro conteúdo importante para trabalhar o binômio de Newton é o de produtos notáveis em equações algébricas. Como você deve saber, produto é o resultado de uma operação matemática de multiplicação, e equações algébricas são aquelas expressões que envolvem letras e números.

Se usássemos apenas números, o resultado seria simples de ser descoberto. No caso das equações com letras, portanto com valores desconhecidos, usamos alguns recursos lógicos para depreender os produtos. As seguintes regras podem ser definidas:

(a + b)⁰ = 1

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³

Como você pode ter percebido, os enunciados acima servem apenas quando o valor do grau é zero, um, dois ou três. Para operações com valores maiores do que esses, os cálculos começam a ficar um pouco mais complexos.

Fórmula do binômio de Newton

Assim sendo, o binômio de Newton será utilizado para descrever a operação realizada ao elevar uma equação algébrica à sua enésima potência. Isaac Newton, considerado por muitos como o maior nome da ciência moderna, é popularmente conhecido pelas suas teorias a respeito da gravidade.

Entretanto, o cientista inglês também produziu contribuições importantes para outras áreas do conhecimento, principalmente na Matemática. É atribuída a ele a formulação desta expressão, sendo que os termos gerais do seu desenvolvimento podem ser descritos da seguinte forma:

Coeficiente binomial

Como você pode observar na fórmula escrita, existe um elemento da equação representado por um n sobre p, entre parênteses. Essa estrutura é um coeficiente binomial, que significa uma relação de subordinação entre esses valores, onde n é maior ou igual a p.

Não sabemos o valor dessas letras, portanto o coeficiente será usado para estipular o número de combinações possíveis entre tais elementos. Caso seja válido o critério anterior em que n > p ou n = p, podemos estabelecer um número binomial k, que pode ser descrito assim:

Nesse caso, o elemento n representa o valor da linha de um gráfico, a posição horizontal. O valor de k já simboliza os valores da coluna, na vertical.

Triângulo de Pascal e binômio de Newton

Ele nada mais é do que uma representação visual das infinitas combinações de números a partir de um coeficiente binomial. Sua criação foi popularmente atribuída ao matemático Blaise Pascal. Entretanto, existem estudos de séculos atrás sobre esse modelo em países como Índia, China e Alemanha.

Trata-se de uma tabela triangular de números. Nela, cada valor é igual à adição do número superior e do antecessor desse valor de cima. Ela se inicia sempre a partir do número 0 e sua extensão é teoricamente infinita.

Binômio de Newton: exercícios

Agora que você tem uma noção clara de como funciona o binômio de Newton, que tal testar suas habilidades em algumas questões feitas pela equipe do Stoodi? No final do texto, daremos as respostas!

1 – Desenvolvendo o número binomial , obtemos:

a) 6

b) 3

c) 20

d) 6!

e) 2

2 – O desenvolvimento de (a + b)5 é:

O binômio de Newton pode ser mais simples do que você imagina. A partir das orientações dadas, é possível trabalhar com ele tranquilamente e se sair bem na hora da prova de Matemática.

Lembre-se de estudar o conceito de binômios, assim como os produtos notáveis, as operações algébricas que embasaram a produção newtoniana. Além disso, conhecer um pouco sobre os coeficientes binomiais será necessário para operar a fórmula em questão.

Conheça também o nosso plano de estudos! É uma ferramenta útil para quem precisa organizar seu tempo dedicado ao vestibular. Por fim, recomendamos que continue testando seus conhecimentos com nossa seleção de questões sobre o binômio de Newton!

Resposta das questões propostas: