Equação de 3º grau: saiba tudo sobre esse assunto!
Veja o que é Equação de 3º grau e em como pode cair na sua prova!
Muitos estudantes, principalmente os que têm dificuldades com equações de primeiro e de segundo grau, concluem de maneira errada que equação de 3 grau é algo ainda mais complicado. Dessa forma, para trabalhar com um polinômio do terceiro grau sem grandes dificuldades, basta ficar atento às dicas e macetes que iremos apresentar neste post.
Grande parte dos vestibulares cobram questões de equação de 3° grau que evolvem basicamente o estudo de suas raízes. Ou seja, além de achar as raízes, é interessante que o aluno aprenda a interpretar as relações existentes entre uma raiz e outra, bem como macetes de tentativa e erro, para que assim consiga resolver os problemas sem grandes dificuldades.
Sendo assim, confira tudo sobre a equação cúbica!
O que é uma equação de 3º grau?
É a equação que possui sua variável independente (geralmente representada pela letra “x“) elevada ao expoente 3, ou seja, é um polinômio com 3 graus.
Outros nomes
Função do terceiro grau equivale às nomenclaturas equação cúbica e polinômio de terceiro grau.
Gráfico
Não convém abordar seu gráfico, pois é ele ensinado apenas para os alunos de graduação que cursam a disciplina: cálculo 1.
Fórmula geral
Uma equação cúbica tem sua fórmula geral y = ax³ + bx² + cx + d, onde:
- “a“, “b“, “c” e “d” são os coeficientes, sendo o “d” nomeado de termo independente;
- “x” é a variável independente da função;
- “y” é a variável dependente da função.
Número de raízes
Uma função polinomial do terceiro grau pode ter até três raízes reais e distintas.
Como interpretá-la
Basicamente você deverá aplicar as Relações de Girard para solucionar uma questão envolvendo equação do terceiro grau.
Diferenças entre equação de 3° grau e equação de 1º grau
Não confunda, função de 1° grau é a equação que possui suas incógnitas (elementos varáveis) elevadas ao expoente 1; em outras palavras, tem apenas 1 grau.
Outros nomes
Além de função do primeiro grau, é chamada também de função afim ou polinômio de primeiro grau.
Gráfico
O gráfico sempre será uma reta, podendo ter inclinação negativa ou positiva.
Fórmula geral
Sua fórmula genérica é y = mx + n, onde:
- “m” e “n” são coeficientes e que podem assumir quaisquer valores numéricos, desde que reais;
- “x” é a variável independente da função;
- “y ” é a variável dependente da função.
Número de raízes
O grau de uma função determina o número máximo de raízes que ela pode ter, isto é, uma equação do primeiro grau possui apenas uma raiz.
Como interpretá-la
O coeficiente “m” é chamado de coeficiente angular, sendo o responsável pela inclinação da reta. Se m > 0, a reta tem inclinação positiva, logo m < 0 tem inclinação negativa.
O coeficiente n é chamado de coeficiente linear, é o número em que a reta da equação toca o eixo y (termo independente).
Como achar suas raízes
Basta fazer a equação da reta igual a zero. Exemplo:
y = 2x + 10
2x + 10 = 0
2x = – 10
x = – 5.
Associação rápida
Leu equação do primeiro grau na prova? Lembre-se de uma reta e seus 2 coeficientes!
Diferenças entre equação cúbica e equação de 2º grau
Diferentemente de uma equação de 3° grau, uma função de 2° grau é aquela que possui sua variável independente (geralmente representada pela letra “x“) elevada ao expoente 2, ou seja, tem 2 graus.
Outros nomes
É conhecida igualmente por função quadrática ou polinômio de segundo grau.
Gráfico
Sempre será uma parábola.
Fórmula geral
Como visto acima, uma função cúbica pode ter até 4 coeficientes presentes em sua fórmula geral, porém, uma função do segundo grau tem a fórmula geral y = ax² + bx +c, onde:
- “a” “b” e “c” são os 3 coeficientes, sendo nomeado o “c” como o termo independente;
- “x” é a variável independente da função;
- “y” é a variável dependente da função.
Número de raízes
Uma equação do segundo grau pode ter até 2 raízes reais e distintas.
Como interpretá-la
Se a > 0, a concavidade da parábola será para cima; se a < 0, a concavidade da parábola será para baixo, sendo o delta (Δ) > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas. Com Δ = 0 a equação tem apenas uma raiz e Δ < 0 a função não tem raiz real.
Como achar suas raízes
Para achar as raízes da função do segundo grau, basta igualar a mesma a zero, calcular o valor de Δ e depois aplicar Bhaskara. Exemplo:
y = 5x² – 3x – 2
Sendo Δ = (b² – 4.a.c) e Bhaskara x = (– b ± √Δ)/2.a, temos:
Δ =
Δ = 49.
x = ( 3 ± √49)/2.5
x1 = 1
x2 = – 2/5.
Associações
Leu equação de segundo grau na prova? Lembre-se de uma parábola e a influência do delta no número de raízes!
Dessa forma, cabe ressaltar ao estudante que ficar bom em Matemática não é algo alcançado de maneira rápida, requer a prática de vários exercícios. E quando se trata de equação de 3° grau não é diferente, pois há grande variedade de abordagem dessa matéria, envolvendo inclusive outros conceitos matemáticos.
Como resolver equação de 3º grau?
Saber como achar raiz de função de terceiro grau sem informações adicionais envolve conceitos matemáticos mais elaborados. Porém, grande parte dos vestibulares cobra do estudante raciocínios que envolvam relações matemáticas entre as raízes, como veremos no exemplo ao final.
Relações de Girard na equação cúbica
Essa abordagem relaciona os coeficientes da equação cúbica ( “a“, “b“, “c” e “d“) com as respectivas raízes da função (x1, x2 e x3). Equacionando, temos:
x1 + x2 + x3 = – b/a
( x1.x2 ) + ( x1.x3 ) + ( x2.x3 ) = c/a
x1.x2.x3 = – d/a.
Exemplo:
Sendo x1, x2 e x3 as raízes da equação y = 2x³ – 4x² + 6x – 8, determine a soma dos inversos das raízes.
Solução: aplicando as relações de Girard, temos:
x1 + x2 + x3 = 2
( x1.x2 ) + ( x1.x3 ) + ( x2.x3 ) = 3
x1.x2.x3 = 4.
Observe agora a soma dos inversos das raízes:
( 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ).
Manipulando essa soma, ou seja, tirando o mínimo múltiplo comum, encontra-se:
( 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ) = / x1.x2.x3.
Como já definimos pelas Relações de Girard que ( x1.x2 ) + ( x1.x3 ) + ( x2.x3 ) = 3 e x1.x2.x3 = 4, basta substituir os valores. Portanto:
( 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ) = 3/4.
Associação
Leu na prova equação do terceiro grau? Lembre-se de Relações de Girard!
Dica
Deu branco na hora da prova e você não se lembrou da fórmula? Uma excelente dica é tentar achar ao menos uma raiz por tentativa e erro, isto é, assumindo o valor de x no intervalo de e verificando se y = 0. Esse macete pode ser útil, pois há questões em que o fato de achar uma raiz já ajuda na solução.
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