Veja o que é Equação de 3º grau e em como pode cair na sua prova!
Muitos estudantes, principalmente os que têm dificuldades com equações de primeiro e de segundo grau, concluem de maneira errada que equação de 3 grau é algo ainda mais complicado. Dessa forma, para trabalhar com um polinômio do terceiro grau sem grandes dificuldades, basta ficar atento às dicas e macetes que iremos apresentar neste post.
Grande parte dos vestibulares cobram questões de equação de 3° grau que evolvem basicamente o estudo de suas raízes. Ou seja, além de achar as raízes, é interessante que o aluno aprenda a interpretar as relações existentes entre uma raiz e outra, bem como macetes de tentativa e erro, para que assim consiga resolver os problemas sem grandes dificuldades.
Sendo assim, confira tudo sobre a equação cúbica!
É a equação que possui sua variável independente (geralmente representada pela letra “x“) elevada ao expoente 3, ou seja, é um polinômio com 3 graus.
Função do terceiro grau equivale às nomenclaturas equação cúbica e polinômio de terceiro grau.
Não convém abordar seu gráfico, pois é ele ensinado apenas para os alunos de graduação que cursam a disciplina: cálculo 1.
Uma equação cúbica tem sua fórmula geral y = ax³ + bx² + cx + d, onde:
Uma função polinomial do terceiro grau pode ter até três raízes reais e distintas.
Basicamente você deverá aplicar as Relações de Girard para solucionar uma questão envolvendo equação do terceiro grau.
Não confunda, função de 1° grau é a equação que possui suas incógnitas (elementos varáveis) elevadas ao expoente 1; em outras palavras, tem apenas 1 grau.
Além de função do primeiro grau, é chamada também de função afim ou polinômio de primeiro grau.
O gráfico sempre será uma reta, podendo ter inclinação negativa ou positiva.
Sua fórmula genérica é y = mx + n, onde:
O grau de uma função determina o número máximo de raízes que ela pode ter, isto é, uma equação do primeiro grau possui apenas uma raiz.
O coeficiente “m” é chamado de coeficiente angular, sendo o responsável pela inclinação da reta. Se m > 0, a reta tem inclinação positiva, logo m < 0 tem inclinação negativa.
O coeficiente n é chamado de coeficiente linear, é o número em que a reta da equação toca o eixo y (termo independente).
Basta fazer a equação da reta igual a zero. Exemplo:
y = 2x + 10
2x + 10 = 0
2x = – 10
x = – 5.
Leu equação do primeiro grau na prova? Lembre-se de uma reta e seus 2 coeficientes!
Diferentemente de uma equação de 3° grau, uma função de 2° grau é aquela que possui sua variável independente (geralmente representada pela letra “x“) elevada ao expoente 2, ou seja, tem 2 graus.
É conhecida igualmente por função quadrática ou polinômio de segundo grau.
Sempre será uma parábola.
Como visto acima, uma função cúbica pode ter até 4 coeficientes presentes em sua fórmula geral, porém, uma função do segundo grau tem a fórmula geral y = ax² + bx +c, onde:
Uma equação do segundo grau pode ter até 2 raízes reais e distintas.
Se a > 0, a concavidade da parábola será para cima; se a < 0, a concavidade da parábola será para baixo, sendo o delta (Δ) > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas. Com Δ = 0 a equação tem apenas uma raiz e Δ < 0 a função não tem raiz real.
Para achar as raízes da função do segundo grau, basta igualar a mesma a zero, calcular o valor de Δ e depois aplicar Bhaskara. Exemplo:
y = 5x² – 3x – 2
Sendo Δ = (b² – 4.a.c) e Bhaskara x = (– b ± √Δ)/2.a, temos:
Δ =
Δ = 49.
x = ( 3 ± √49)/2.5
x1 = 1
x2 = – 2/5.
Leu equação de segundo grau na prova? Lembre-se de uma parábola e a influência do delta no número de raízes!
Dessa forma, cabe ressaltar ao estudante que ficar bom em Matemática não é algo alcançado de maneira rápida, requer a prática de vários exercícios. E quando se trata de equação de 3° grau não é diferente, pois há grande variedade de abordagem dessa matéria, envolvendo inclusive outros conceitos matemáticos.
Saber como achar raiz de função de terceiro grau sem informações adicionais envolve conceitos matemáticos mais elaborados. Porém, grande parte dos vestibulares cobra do estudante raciocínios que envolvam relações matemáticas entre as raízes, como veremos no exemplo ao final.
Essa abordagem relaciona os coeficientes da equação cúbica ( “a“, “b“, “c” e “d“) com as respectivas raízes da função (x1, x2 e x3). Equacionando, temos:
x1 + x2 + x3 = – b/a
( x1.x2 ) + ( x1.x3 ) + ( x2.x3 ) = c/a
x1.x2.x3 = – d/a.
Exemplo:
Sendo x1, x2 e x3 as raízes da equação y = 2x³ – 4x² + 6x – 8, determine a soma dos inversos das raízes.
Solução: aplicando as relações de Girard, temos:
x1 + x2 + x3 = 2
( x1.x2 ) + ( x1.x3 ) + ( x2.x3 ) = 3
x1.x2.x3 = 4.
Observe agora a soma dos inversos das raízes:
( 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ).
Manipulando essa soma, ou seja, tirando o mínimo múltiplo comum, encontra-se:
( 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ) = / x1.x2.x3.
Como já definimos pelas Relações de Girard que ( x1.x2 ) + ( x1.x3 ) + ( x2.x3 ) = 3 e x1.x2.x3 = 4, basta substituir os valores. Portanto:
( 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ) = 3/4.
Leu na prova equação do terceiro grau? Lembre-se de Relações de Girard!
Deu branco na hora da prova e você não se lembrou da fórmula? Uma excelente dica é tentar achar ao menos uma raiz por tentativa e erro, isto é, assumindo o valor de x no intervalo de e verificando se y = 0. Esse macete pode ser útil, pois há questões em que o fato de achar uma raiz já ajuda na solução.
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