Conjuntos numéricos: o que são, tipos e exercícios!
Para muitos vestibulandos, a Matemática é a matéria mais difícil — seja por dificuldade na hora de aplicar o conhecimento, pelas inúmeras fórmulas ou por problemas no momento de interpretar o enunciado, uma coisa é fato: a grande maioria dos estudantes não curte muito essa disciplina. No entanto, ela é fundamental para o vestibular e, para entendê-la, precisamos começar pela base: os conjuntos numéricos.
Essa é uma das primeiras matérias a ser estudada em cursinhos, por ser considerada de extrema importância para a compreensão de muitos conceitos que virão a seguir. Por isso, não podemos negligenciá-la. Compreender todos os seus aspectos é essencial para avançarmos no estudo da Matemática.
A seguir, discutiremos o que são conjuntos numéricos e mostraremos quais são os grupos que os caracterizam e como são feitas as operações básicas com o seu uso. Por fim, listaremos alguns exercícios para que você possa conferir se realmente entendeu o conteúdo. Vamos lá?
O que são conjuntos numéricos?
Os conjuntos numéricos são, por definição, um agrupamento de números que têm características semelhantes entre si. Eles são essenciais para a resolução de uma série de cálculos e auxiliam bastante na visualização de problemas, contribuindo, evidentemente, para a sua esquematização.
Há vários conjuntos numéricos, cada um deles contendo números que apresentam alguma lógica ou semelhança. A seguir, descobriremos um pouco mais sobre cada um deles, abordando suas principais características. Tudo pronto? Então, fique atento!
Números naturais
O conjunto dos números naturais foi o primeiro a ser elaborado e é, portanto, o mais simples. Isso não quer dizer que reconhecê-lo não seja algo importante, já que ele pode ser utilizado na resolução de uma grande variedade de problemas (especialmente os que envolvem alguma lógica ou interpretação textual).
A sua representação padrão é pela letra N, de naturais. A sua representação matemática é dada por N = {x є N/ x > 0} (ou N* = {x є N/ x ≠ 0}, no caso de o conjunto não conter o número zero). Os números contidos nesse grupo são:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
Números inteiros
Os números inteiros são, como o próprio nome já indica, aqueles que não são fracionados ou com vírgula. Esse grupo, portanto, inclui tanto os valores positivos quanto os negativos, além de, claro, o zero.
A sua representação é dada pela letra Z e ele fica mais ou menos desta forma:
Z = {… -3, -1, 0, 1, 5, 13, 24, …}
Números racionais
Em seguida, precisamos mencionar o grupo dos números racionais, obtido por meio da união entre os números naturais e inteiros. A sua representação é dada pela letra Q e nele estão contidos:
- números inteiros positivos;
- números inteiros negativos;
- números decimais;
- números com fração;
- dízimas periódicas.
A representação matemática do conjunto é dada por Q = {x = , com a є Z e b є z*}. Além disso, há as representações Q + (quando ele contém o número zero e os maiores que zero), Q *+ (quando se exclui o zero) e Q– (quando são os números menores que zero e o próprio zero).
Números irracionais
Os números irracionais, representados pela letra I, formam um conjunto no qual estão inseridos os decimais infinitos não periódicos. São aqueles que têm muitas casas após a vírgula, mas que não são uma dízima periódica.
O exemplo mais comum de número pertencente a esse grupo, é, sem dúvidas, o Pi. Como sabemos, embora ele seja normalmente simplificado para 3,14 (ou até mesmo 3, em alguns vestibulares), seu real valor é de 3,14159265…
Números reais
O grupo dos números reais é, por fim, o conjunto que engloba todos os conjuntos mencionados acima. Por isso, ele contém elementos dos números inteiros, racionais, irracionais, naturais e assim por diante.
A sua representação é dada pela letra R. Conhecê-lo bem é fundamental para que possamos entender todo o conteúdo de conjuntos, já que os seus diagramas são bem definidos para entendermos a relação entre os grupos numéricos.
Intervalos numéricos
Os intervalos numéricos são representações que respeitam, como o próprio nome já indica, um período determinado. Eles são representados na reta numérica e o valor obtido pode nos ajudar a determinar um conjunto ou subconjuntos.
Nesta representação, uma “bolinha não preenchida” nos mostra um intervalo aberto, ou seja, onde o extremo não faz parte desse período. Isso é dado pela seguinte afirmação:
(a,b)= {x ∈|R/ a<x<b}
Já a “bolinha não preenchida” nos mostra que os extremos pertencem ao período. A representação é a seguinte:
= {x ∈ |R / a ≤ x ≤ b}
Por fim, podemos também ter a representação com apenas uma bolinha em uma das extremidades. Isso diz que o intervalo é ilimitado e que a outra ponta tende ao infinito.
[a, + ∞[ ou [a,+∞)
Operações em conjuntos numéricos
As operações com conjuntos são muito úteis para podermos resolver uma grande variedade de exercícios, presentes em todos os exames do Brasil, incluindo os mais concorridos, como o Enem e a Fuvest.
As operações mais comuns serão vistas a seguir!
União
Atua, de certa forma, como a soma entre dois conjuntos. Ela é representada pela letra U. Aqui, os elementos que se repetirem nos conjuntos que fazem parte da união serão contabilizados apenas uma vez.
Exemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {1, 5, 6}
A U B = {1, 2, 3, 5, 6}
Intersecção
A intersecção é a operação que identifica quais são os elementos comuns aos conjuntos envolvidos na equação. Ela é representada pelo símbolo ∩.
Exemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {1, 5, 6}
A ∩ B = {1}
Diferença
A diferença, por fim, é uma operação que pode ser comparada à subtração. Ela é, inclusive, representada pelo símbolo –. Aqui, o conjunto da operação será composto pelos elementos que não aparecem no outro grupo.
Exemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {1, 5, 6}
A – B = {5, 6}
Propriedades dos conjuntos numéricos
A seguir, listaremos as propriedades que fazem parte do estudo de conjuntos numéricos. Para compreendê-las, você precisa aprofundar o conhecimento e realizar muitos exercícios para a fixação!
- os conjuntos N, Q, I e Z são subconjuntos dos números reais (R);
- o conjunto N é um subconjunto de Z.
Ao entendermos essas relações, fica muito mais fácil dar continuidade aos estudos!
Exercícios: conjuntos numéricos
Confira, a seguir, alguns exemplos de exercícios com conjuntos que podem estar em seu vestibular!
UFMG (2004)
Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2.520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de N é:
A) 9.
B) 7.
C) 8.
D) 10.
Resposta: B
FUVEST (2005)
O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é
A) 37.
B) 36.
C) 35.
D) 34.
E) 33.
Resposta: A
ITA (2004)
Seja o conjunto S = {r Æ Q: r μ 0 e r£ ́ 2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:
I. 5/4 Æ S e 7/5 Æ S.
II. {x Æ IR: 0 ́ x ́ Ë2} º S = ¹
III. Ë2 Æ S.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas:
A) I e II
B) I e III
C) II e III
D) I
E) II
Resposta: D
Não é tão difícil, não é mesmo? Lembre-se de que, na Matemática, o conhecimento é como a construção de uma casa e que cada disciplina é o equivalente a um tijolo colocado na edificação. Por isso, construir bases fortes é fundamental. Não passe para o próximo assunto a menos que tenha, de fato, compreendido o anterior.
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