Distância entre dois pontos: entenda tudo!

O estudo da Geometria Analítica é um dos mais importantes para o vestibular. Independentemente de onde você mora e quais vestibulares vai prestar, uma coisa é certa: é muito provável que, em sua prova, pelo menos uma questãozinha de distância entre dois pontos dê o ar da graça.

Quando isso acontecer, nada melhor do que estar devidamente preparado, não é mesmo? Ainda mais porque esse é um conteúdo essencial para a compreensão de vários outros temas da Matemática e até mesmo de outras disciplinas, como a Geografia Física, por exemplo.

E então, sem mais delongas, vamos aprender alguns pontos fundamentais para compreendermos a distância entre dois pontos, entre eles suas fórmulas e dicas para fazer os cálculos da forma adequada. Boa leitura!

O que é distância entre dois pontos?

Medir a distância é uma forma muito utilizada na Matemática para nos ajudar nos cálculos e na elaboração de relação entre pontos diversos. Assim, podemos construir figuras e dar um passo mais firme em direção a uma resposta para as mais variadas questões.

Esse é o campo de estudo da Geometria Analítica, tema deste post. Para ela, a distância entre dois pontos é representada por uma reta simples, dentro da qual existem infinitos pontos equidistantes.

Para descobrir a distância entre os dois pontos que marcam as extremidades dessa reta, utilizaremos o plano cartesiano e as coordenadas que representam, assim, os pontos que são o objeto de nosso estudo dentro da questão. Com a construção de retas, por exemplo, podemos criar outras figuras e aplicar nossos conhecimentos em busca de respostas.

Fórmula da distância entre dois pontos

A figura mais comumente obtida com a construção de projeções e extensão de retas no plano cartesiano é, sem dúvidas, o triângulo. Sendo assim, podemos utilizar algumas fórmulas para tornar o andamento de nossos estudos um pouco mais simples.

A fórmula é a seguinte:

dAB = √ ( x2 – x1 ) ² + ( y2 – y1 ) ²

Ela também pode ser lida como:

D² = ( Xb – Xa ) ² + ( Yb – Ya) ²

Decore a fórmula que preferir da maneira que achar mais fácil! Para isso, é sempre importante utilizar todas as ferramentas disponíveis para não esquecê-la na hora do vestibular.

A principal dica, no entanto, é realizar inúmeros exercícios de fixação. Pouco a pouco, a realização dessas fórmulas se tornará tão natural que você nem perceberá que as decorou. Você terá, de fato, aprendido o conteúdo e não apenas o memorizado.

Como calcular a distância entre dois pontos?

Para darmos continuidade aos nossos estudos sobre distância entre dois pontos, chegou o momento de aprendermos, efetivamente, a calcular esse tipo de questão. Lembre-se de que é normal não entender tudo de cara; esse tipo de compreensão vem com a resolução de vários exercícios. O treino, nas ciências exatas, é tudo!

A seguir, você aprenderá os métodos necessários para calcular a distância entre pontos em duas situações distintas: no plano cartesiano, a forma como é mais comumente cobrado; e no espaço, algo que requer um pouco mais de atenção.

E aí, preparado? A seguir, veremos as formas de resolução desse tipo de questão e, depois, treinaremos com alguns exercícios retirados de vestibulares importantes no Brasil. Vamos lá!

No plano

A resolução em um plano cartesiano demandará uma série de conhecimentos paralelos ao de distância entre dois pontos. Em primeiro lugar, o aluno precisará dominar a estrutura desse gráfico para evitar erros que podem comprometer toda a resolução.

Depois, por meio da projeção ortogonal da reta construída nas extremidades dos pontos, é chegada a hora de construir, assim, um triângulo no plano cartesiano. O segmento AB, aquele cuja distância desejamos medir, representa a hipotenusa dos triângulos nesse caso.

Com a construção da forma geométrica, podemos aplicar o conceito de Teorema de Pitágoras, representado pela fórmula passada logo acima:

dAB = √ ( x2 – x1 ) ² + ( y2 – y1 ) ².

No espaço

Descobrir a distância entre dois pontos no espaço é algo um pouco mais complexo, já que aqui é adicionada uma dimensão. Lembre-se de que o plano cartesiano tem apenas duas dimensões, que são representadas pela ordenada e pela abscissa do gráfico.

Na prática, o que ocorre é a adição de uma nova dimensão na mesma fórmula que já vimos anteriormente.

Sendo assim, temos que:

dAB = √ ( x2 – x1 ) ² + ( y2 – y1 ) ² + (z2 – z1 ) ²

Distância entre dois pontos: exercícios

E aí, tudo pronto para treinar o conteúdo de distância entre dois pontos com alguns exercícios? Assim como todas as outras matérias, na Matemática, o que fará com que você realmente fique bom no assunto é o treino com questões e mais questões. Então, mãos à obra!

(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.

a)   X = 8

b)   X = 6

c)   X = 15

d)   X = 12

e)   X = 7

Resposta: A

(UFJF) Se (2; 1), (3; 3) e (6; 2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices?

a)   (-1; 2), (5; 0) e (7; 4)

b)   (2; 2), (2; 0) e (4; 4)

c)   (1; 1), (3; 1) e (5; 5)

d)   (3; 1), (1; 1) e (3; 5)

e)   n.d.a

Resposta: A

(PUC) O triângulo de vértices A (4; 3), B (6; -2) e C (-11; -3) é:

a)   equilátero;

b)   isósceles;

c)   acutângulo;

d)   obtusângulo;

e)   retângulo.

Resposta: E

Como vimos, treinar bastante é algo essencial para quem vai prestar o Enem e também vestibulares concorridos. Prepare-se direitinho com a ajuda de nosso Plano de Estudos, que fornecerá o suporte necessário para que você obtenha sucesso em suas provas!