Fatoração Algébrica: O Que é, Exercícios E Mais!

Uma ferramenta essencial na Matemática, é a fatoração algébrica, um recurso operacional muito utilizado para a facilitação e o desenvolvimento simplificado de cálculos matemáticos.

Contudo, mesmo sendo uma matéria classificada como simples (até porque a aprendemos na escola durante o ensino fundamental), muitos estudantes confundem sua aplicação e erram alguns conceitos fundamentais para a solução dos exercícios.

Em vista disso, preparamos um post explicando o que é fatoração, como aplicá-la, qual a melhor forma de desenvolver um cálculo matemático com base na fatoração algébrica e como esse assunto poderá ser cobrado no Enem. Acompanhe!

O que é fatoração algébrica?

Fatoração algébrica nada mais é do que escrever um número/polinômio na sua forma multiplicada; em outras palavras, é uma ferramenta que nos permite simplificar alguns números e polinômios (porém, continuando a ter o mesmo valor matemático) com base na operação de produto.

Para ficar mais fácil compreensão, veja o exemplo abaixo com o numeral 512, o qual iremos reescrever por meio de uma operação de multiplicação:

512

512 ÷ 2 = 256

256 ÷ 2 = 128

128 ÷ 2 = 64

64 ÷ 2 = 32

32 ÷ 2 = 16

16 ÷ 2 = 8

8 ÷ 2 = 4

4 ÷ 2 = 2

2 ÷ 2 = 1.

Sendo assim, conseguimos dividir o numeral 512 por 2 nove vezes consecutivas, logo, podemos afirmar matematicamente que:

512 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^9.

Veja outro exemplo agora em que há mais de um fator envolvido, como é o caso do número 600:

600 ÷ 2 = 300

300 ÷ 2 = 150

150 ÷ 2 = 75

75 ÷ 3 = 25

25 ÷ 5 = 5

5 ÷ 5 = 1.

Portanto, aplicando o mesmo raciocínio acima, temos:

600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 2³ x 3 x 5².

Dicas

Para este caso específico da fatoração, você sempre deve iniciar a divisão pelo menor valor possível, e os cálculos só terminam quando o último número a ser dividido for o 1, indicando que não tem mais como reduzir o valor inicial.

Como resolver fatoração algébrica?

Há diferentes métodos para resolver uma fatoração algébrica, sendo que cada um deles tem sua aplicação voltada para cada tipo de exercício, ou seja, primeiro é necessário identificar a natureza do exercício para depois então determinar qual método utilizar.

Fator comum

Como o próprio nome sugere, fator comum é o método que aplicamos nos casos em que, de cara, já detectamos que há fatores repetidos entre os numerais/letras que precisamos fatorar. Veja:

8ab² + 2a²b + 100a³b³

Ao olhar para esse polinômio, logo já percebemos que há fatores iguais em todos os 3 números. Esse fator é o 2ab, que está presente em todos os termos do polinômio. Após identificar o fator comum, devemos colocá-lo em evidência e reescrever a equação em sua forma fatorada:

8ab² + 2a²b + 100a³b³ = 2ab(4b + 1a + 50a²b²)

Por agrupamento

A fatoração por agrupamento é um método um pouco mais exigente que a fatoração por fator comum, entretanto, não é nada que o estudante possa classificar como impossível.

Considere a expressão ab + 3a + 4b + 12. Inicialmente devemos agrupá-la com base nos fatores comuns:

ab + 4b +3a + 12

b(a + 4) + 3(a+4).

Neste ponto, percebemos que ainda há fatores que se repetem no polinômio, como é o caso do (a+ 4). Então fatoramos novamente, colocando (a+4) em evidência:

b(a + 4) + 3(a+4) = (a + 4)(b + 3).

Fatoração algébrica: exercícios resolvidos

Como a fatoração algébrica é uma matéria extremamente importante na Matemática, ela também pode ser cobrada durante o desenvolvimento de um outro exercício, o qual envolve outra matéria. Além disso, o vestibular poderá exigir do aluno cálculos de simplificação de polinômios, justificando assim a importância de estudar os diferentes métodos de fatoração. Veja abaixo:

1) Um dos fatores da forma fatorada mais reduzida do polinômio 4x² + 6x⁴ – 8x⁵ + 6x³ é:

a) x

b) 2x

c) 3x

d) 2x²

e) 2x⁴

Solução

Alternativa correta letra “D”. Reescrevendo o polinômio, temos:

4x² + 6x⁴ – 8x⁵ + 6x³

2·2x² + 2·3x²x² – 2·4x³x² + 2·3xx²

Perceba agora que os fatores em comum em todos os termos são 2 e x². Basta colocá-los em evidência:

2·2x² + 2·3x²x² – 2·4x³x² + 2·3xx²

2x²(2 + 2x² – 4x³ + 3x).

2) Qual é a forma fatorada mais reduzida do polinômio 4x²y³z⁴ – 16x³y²?

a) 4x²y²

b) yz⁴ – 4x

c) 4x²y²(yz⁴ – 4x)

d) 4x²y²z³(yz – 4x)

e) x²y²(4yz⁴ – 16x)

Solução

Alternativa correta letra “C”. Neste caso, precisamos apenas colocar o fator comum em evidência:

4x²y³z⁴ – 16x³y²

4x²y²(yz⁴ – 4x).

Portanto, após a leitura deste post, você consegue perceber que a fatoração algébrica não é uma matéria difícil como muitos falam. Basta treinar os diferentes métodos de aplicação e saber a hora certa em que cada um deve ser utilizado.

Cabe destacar ainda que a melhor forma para aprender esta matéria é praticando exercícios, para que assim você passe a identificar com mais naturalidade as diferentes formas de fatoração.

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