Fórmulas PA e PG: saiba o que são e como usá-las!

Fórmulas PA e PG: saiba o que são e como usá-las!

Se tem uma coisa que você precisa saber para fazer uma prova incrível no Enem é conhecer muito bem as fórmulas matemáticas. Um dos assuntos mais importantes são as fórmulas de PA e PG. Sempre é bom revisá-las, pois PA e PG são parecidas e fica fácil confundir os cálculos.

Você lembra o que são PA e PG? Vamos dar uma olhada cuidadosa nas fórmulas para entender esse importante tema da matemática!

O que são PA e PG?

PA e PG são sequências finitas ou infinitas de números que seguem uma lógica ou razão. PA é a sigla para progressão aritmética, enquanto PG significa progressão geométrica. Vamos conversar melhor sobre cada uma delas a seguir?

Progressão aritmética (PA)

A progressão aritmética é aquela sequência numérica em que cada termo (a partir do segundo) corresponde à soma do anterior com um valor chamado razão (r).

Ou seja, se você começa por um número qualquer e a ele soma um valor r, obtém o segundo número da PA. Então, somando novamente r, chega ao 3º termo e assim por diante. Uma PA de três termos, em que o primeiro termo seja chamado de a, pode ser mostrada assim:

PA (a, a + r, a + 2r)

Ou seja, a é o primeiro termo, a + r o segundo, e a + 2r o terceiro.

Tipos de PA

Quando observamos a evolução dos termos, podemos fazer algumas classificações sobre a PA. Confira!

PA finita

É aquela PA que tem um número definido de termos. Por exemplo, uma PA de cinco termos na qual o termo inicial é 0 e a razão é 2:

PA (0, 2, 4, 6, 8)

PA infinita

A PA é infinita quando o domínio em que ela está inserida é infinito. Veja o exemplo abaixo:

PA (10, 11, 12, 13, 14…)

PA crescente

Uma PA é crescente quando a razão entre os termos é positiva, ou seja, r > 0. Assim, cada novo termo é maior que o anterior.

PA decrescente

Quando a razão é negativa, ou seja, r < 0, então a PA é decrescente, pois cada novo termo é menor que o antecessor dele.

PA constante

A PA pode ser constante, se r = 0. Nesse caso, os termos são todos iguais.

Fórmula da PA

Chegamos ao ponto que interessa: qual a fórmula da PA? Depende do que você quer encontrar! Uma PA tem várias fórmulas, com diferentes informações. Para facilitar, nós separamos cada caso.

N-ésimo termo da PA

Os termos da PA são identificados pela posição que ocupam na sequência. Representativamente, você teria uma PA infinita mostrada assim:

PA (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅…)

Quando a questão do Enem falar sobre o N-ésimo (ou enésimo) termo de uma PA, ela está se referindo ao termo que está na posição n.

Por exemplo: e o décimo termo? Nesse caso, você precisa calcular qual o número que está na posição 10, ou seja, o termo a₁₀. Fácil, não é? Basta ir somando a razão r até achar o 10º termo da PA.

Mas se a questão quiser que você diga qual o 123º termo? Então, temos que aprender a fórmula do N-ésimo termo. Ela também é chamada Termo Geral de uma PA, pois pode ser usada para descobrir o valor que está em qualquer posição. Tome nota:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

Viu só? Das duas formas, chegamos ao mesmo resultado.

Razão da PA

Agora, vejamos como encontrar a razão de uma PA. É simples, se você tiver pelo menos dois termos consecutivos. Se você souber a_n e também a(_n-1) ou a_(n+1), basta fazer a subtração entre o termo de maior posição e seu antecessor. Calcule:

r = a_n – a_(n-1) ou r = a_(n+1) – a_n

Caso não saiba dois termos consecutivos, use a fórmula do termo geral, isolando r. Desta forma:

R = (a_n – a₁)/(n – 1)

Soma dos termos da PA

Essa é uma questão muito comum. Como saber a soma dos termos de uma PA (S_n), sem ter que calcular de cabeça cada termo e somar, correndo risco de errar? Aplicando a seguinte fórmula:

S_n = n . (a₁ + a_n)/2

Cabe ressaltar que as PAs infinitas não têm uma fórmula para a soma dos termos, pois é impossível determiná-la.

Termo central da PA

E mais uma fórmula é importante para que você domine o assunto da PA: a fórmula do termo central ou termo médio da PA (TM). Como saber qual o número que ocupa a posição do meio em uma PA com n termos? Tome nota:

TM = (a₁ + a_n)/2

Progressão geométrica (PG)

A progressão geométrica (PG) não é muito diferente da PA. A ideia é a mesma: uma sequência numérica que tem uma lógica. Agora, no caso da PG, a razão (na PG, ela é identificada por q) não é somada ao termo anterior, mas multiplicada. Para entender melhor, veja como uma PG pode ser representada:

PG ( a, a.q)

Ou ainda:

PG (a, a.q, a.q²)

Tipos de PG

Você pode classificar uma PG da mesma forma que uma PA. Confira!

PG finita

Tem número finito de termos. Por exemplo, a PG de 5 termos, com a₁ = 1 e q = 10:

PG (1, 10, 100, 1000, 10000)

PG infinita

Já a PG infinita é aquela que está em um domínio infinito, sem especificação da quantidade de termos. Veja a PG com a₁ = 1 e q = 2:

PG (1, 2, 4, 8, 16…)

PG crescente

Na PG crescente, cada termo é maior que o anterior. Isso acontece quando:

• o termo inicial é maior que zero e a razão é maior que 1 (a₁ > 0 e q > 1) — assim, os números serão sempre positivos e cada vez maiores;
• o termo inicial é menor que zero e a razão está entre 0 e 1 (a₁ < 0 e 0 < q < 1) — assim, ao multiplicar o número negativo pela razão, o próximo número será menor em módulo, mas estará mais próximo de zero e, portanto, crescendo.

PG decrescente

Já a PG decrescente é aquela em que cada termo é menor que o antecessor. Ela acontece em duas situações:

• o primeiro termo é negativo e a razão é maior que 1 (a₁ < 0 e q > 1) — assim, os próximos números serão negativos com módulo cada vez maior, ou seja, mais distantes de zero;
• o primeiro termo é positivo e a razão está entre zero e um (a₁ > 0 e 0 < q < 1) — isso vai gerar números sempre positivos, mas cada vez menores.

PG constante

Na PG constante, a razão é igual a 1 e cada termo é igual ao anterior.

PG alternante

Essa PG alterna o sinal de cada membro quando o primeiro deles é diferente de zero e a razão é negativa (a₁ ≠ 0 e q < 0).

PG estacionária

Acontece quando o primeiro termo é diferente de zero, mas a razão é zero, fazendo com que os demais também sejam nulos (a₁ ≠ 0 e q = 0).

Fórmula da PG

As fórmulas da PA e PG são diferentes, portanto, tenha sempre atenção para não confundir na hora de resolver questões. Conheça cada fórmula da PG a seguir!

N-ésimo termo da PG

A fórmula do termo geral ou do N-ésimo termo da PG é a seguinte:

a_n = a₁ . q^(n-1)

Razão da PG

Para calcular a razão da PG, dividimos dois termos consecutivos: o último fica no numerador, e seu antecessor no denominador. Ou seja:

q = a_(n+1)/a_n

Mas, sem conhecer dois termos consecutivos, podemos fazer o cálculo usando o termo geral da PG, substituindo os outros valores e encontrando q:

a_n = a₁ . q^(n-1)

Soma dos termos da PG

Para saber quanto dá a soma dos termos de uma PG (S_n), anote a fórmula:

S_n = a₁ . (qⁿ – 1)/(q – 1)

A PG infinita permite calcular a soma dos termos (S). A fórmula é a seguinte:

S = a₁/(1 – q)

Exercícios sobre PA e PG

Agora você já tem todas as fórmulas de PA e PG, mas precisa praticar para não esquecer. Por isso, aproveite os exercícios sobre progressão aritmética e progressão geométrica que o Stoodi disponibilizou para você!

Mas caso queira assistir uma aula sobre PA ou sobre PG, você também pode. Veja as videoaulas que preparamos e saiba mais.

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