Intervalos reais: o que são, exercícios e mais!

Intervalos reais: o que são, exercícios e mais!

Dentro da Matemática básica, a teoria sobre os intervalos reais é um dos temas mais comuns tanto no ensino médio quanto nos vestibulares. Trata-se de um assunto simples de ser captado com pouco tempo de estudo. Sendo assim, separamos este guia com os conceitos básicos para compreender os intervalos reais.

Além disso, apresentaremos um par de exercícios para trabalhar o que aprendeu lendo o texto. Vamos iniciar retomando os conceitos básicos de conjuntos e números reais, para então explicar apropriadamente os intervalos reais e sua tipificação. Vamos lá?

O que são intervalos reais?

Você deve se lembrar de que a teoria dos conjuntos explica a organização de elementos em agrupamentos e suas características. Um conjunto numérico é a notação matemática que simboliza que determinados valores ou elementos algébricos estão contidos ou não em determinado grupo. Usamos uma letra maiúscula para representá-los: A, B, C etc.

Como o próprio nome indica, a classificação de números reais também faz parte do que aprenderemos aqui. Quando falamos nesse tipo de numeração, são englobados os seguintes conjuntos de números:

• naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…};
• inteiros: { -2, -1, -, 1, 2, 3…};
• racionais: {1/4, 1/2, 3/4, 5/3…};
• irracionais: {√2, √3, √5 , √7, π…}.

Sendo assim, quando falamos nesses intervalos estamos nos referindo a uma continuidade de números reais que se encontram em um determinado grupo. Portanto, pode-se compreender um intervalo real como um tipo de conjunto composto por valores que estarão necessariamente contidos pelas regras descritas acima.

Notações

Algumas notações são relevantes de serem retomadas por quem está estudando, facilitando a leitura do assunto e a habilidade de resolução de exercícios.

Como mencionamos, o símbolo usado para representar um conjunto em sua totalidade é a letra maiúscula (A, B, C, X, Y…). Especificamente, a letra R será usada para a totalidade dos números reais.

Já para simbolizar determinado elemento ou valor de um conjunto, utilizamos as letras minúsculas (x, y, p, n…). Você pode se lembrar também de que o uso dos colchetes entre os elementos representa as demarcações de um grupo; os números contidos entre os colchetes fechados pertencem àquele intervalo.

Além desses, vale retomar o uso do para estabelecer relação de pertencimento, assim como dopara indicar não pertencimento. Por fim, temos, respectivamente, os símbolos de união e interseção entre conjuntos ou intervalos: ∪ e ∩.

Tipos de intervalos reais

Agora que já sabe como funcionam as notações, abordaremos os diferentes tipos de intervalos reais.

Intervalos reais parcialmente abertos e fechados

Lembra-se dos colchetes que representam o pertencimento dos elementos de um conjunto? Veja o seguinte exemplo:

A = {1, 2, 3, a, b}

Por se tratar de subconjuntos, a notação utilizada para os intervalos é ligeiramente diferente: “”. A teoria dos intervalos reais faz outro uso interessante dessa notação, indicando se estamos trabalhando com intervalos fechados ou abertos. Dependendo da direção do símbolo, você pode observar facilmente a diferença.

Se, na extremidade esquerda do intervalo, o colchete estiver virado para a esquerda, significa que o elemento da extrema esquerda do conjunto não fará parte daquela notação, estabelecendo um tipo de intervalo semiaberto. É o que podemos ver na seguinte expressão:

]p,n]={x ∈ R : p < x < n}

Como você pôde ver, a primeira extremidade está invertida, fora da equação. Isso significa que os valores de p não fazem parte do intervalo. No exemplo acima, temos um caso de intervalo fechado à direita. Eles também podem ocorrer fechando apenas o outro lado da expressão, em que teremos um intervalo fechado à esquerda, como no seguinte modelo:

={x ∈ R : p < x < n}

]p,n ∪

Já na interseção, falamos apenas dos elementos que estarão tanto no primeiro intervalo como no segundo. Os valores que fazem parte apenas de um dos conjuntos não farão parte da interseção. Portanto, se não há nenhum valor em comum em ambos os intervalos, o resultado dessa interação será um conjunto vazio, como nessa expressão:

∩ =∅

Com este artigo, você teve contato com as principais noções que vão ajudar a resolver os problemas sobre intervalos reais. Lembre-se de que, para fixar bem essa teoria, é importante ter uma boa noção sobre o que são números reais e as propriedades dos conjuntos numéricos.

Agora, você está mais do que preparado para resolver outras questões sobre o assunto e dar seguimento em seus estudos sobre Matemática. Ao abordar os temas com cuidado e destrinchando-os em conceitos menores, fica muito mais fácil de aprender essa que é uma das temidas matérias dos vestibulares e do Enem.

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Intervalos reais: exercícios

Bom, agora que você já sabe mais do que o básico sobre essa matéria, que tal testar o que foi aprendido em alguns exercícios resolvidos? Tiramos estes de nosso acervo de questões, mas as respostas estarão apenas no final dessa leitura. Portanto, vale tentar!

1. (CEFET-MG 2013) Sejam a e b números inteiros. A quantidade de números inteiros existentes no intervalo ]a,b é:

a)

b)

c)

d)

Gabarito:

1: A; 2: D.