Matemática: tudo sobre MMC e MDC

Professores Paulo e Larissa explicam o que é cada um deles, como calcular e como eles costumam aparecer nos exercícios

Na aula parece simples, mas na hora de resolver os exercícios, o MMC e MDC causam várias dúvidas, né?! Relaxe que hoje vamos entender tudo sobre essas duas propriedades.

Para isso, precisaremos de uma ajudinha dos nossos professores de matemática. O prof. Paulo vai explicar o que é cada um deles e vai mostrar como você pode calcular. Já a profa. Lari vai dar as dicas e explicar como esses dois assuntos costumam ser cobrados.

Então, vamos começar com uma retomada.

O que é MDC?

A sigla MDC significa Máximo Divisor Comum. No exercício, nós vamos procurar o maior número que é divisor dos números do enunciado.

Divisor é aquele que divide um número e obtém um resultado exato. O 1 é o primeiro divisor de todos os números e o último divisor de um número é ele próprio.

Comum é quando o mesmo número divide os números envolvidos no exercício.

Máximo é o maior número encontrado.

Como calcular o MDC?

Para encontrar o MDC, nós temos dois processos. Vamos ver um exemplo do modo mais básico:

Precisamos encontrar o MDC dos números 12 e 18. Então, vamos escrever os números naturais que dividem o 12 e o 18, separadamente.

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Nós encontramos os divisores naturais. O próximo passo é encontrar os divisores comuns entre o 12 e 18. Se você olhar bem, os divisores comuns são os números 1, 2, 3 e 6.

Entre os divisores comuns, nós precisamos encontrar o máximo divisor comum. Ou seja, o maior divisor comum. Nesse nosso exemplo, o MDC é o 6.

mdc (12, 18) = 6.

“Esse processo ficou simples porque usamos números baixos. Porém, quando nós tivermos números mais altos, nós precisaremos de um outro processo para descobrir o MDC”, explica o prof. Paulo.

A outra forma para calcular o divisor comum é colocar os números um ao lado do outro, e fazer a divisão simultânea.
12, 18 | 2*
6,  9  | 2
3,  9  | 3*
1,  3  | 3
1,  1  |

Comece a divisão com os números primos. O número 2, por exemplo, divide o 12 e o 18. Coloque os resultados destas divisões abaixo do 12 e do 18. O número 2, novamente, divide o 6, porém não divide o 9, então apenas o copie e siga o cálculo. Como o 2 não divide nem o 3, nem o 9, passe para o próximo número primo, que é o 3, e assim por diante.

Faça um asterisco nos números que dividiram os dois envolvidos (nesse caso, o 12 e 18) e multiplique esses números para encontrar o resultado.

MDC (12, 18) = 2.3 = 6

“A vantagem de calcular dessa forma é que você pode calcular quatro, cinco ou mais números de forma simultânea”, conta o professor.

O que é mmc?

A sigla MMC significa Mínimo Múltiplo Comum. No exercício, nós vamos procurar o menor número que é múltiplo dos números do enunciado.

Múltiplos são aqueles números que resultam da multiplicação de um número pelos números naturais. Por exemplo: os primeiros múltiplos do 3 são os números que estão na tabuada do 3.

Comum é quando o mesmo número é múltiplo dos números envolvidos no exercício.

Mínimo é o menor número entre todos os encontrados.

Como calcular o MMC?

Existem algumas formas de encontrar o MMC. Vamos começar pela mais básica. Eu tenho os números 2 e 3, por exemplo. Como calcular esse MMC?

Primeiro, vamos encontrar os múltiplos de cada um, isolados.

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…}
Quantos múltiplos de 2 existem? Infinitos.

M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}
Quantos múltiplos de 3 existem? Infinitos também.

Nós já encontramos alguns múltiplos, agora precisamos encontrar os múltiplos comuns entre 2 e 3.

“Se nós observarmos, o primeiro múltiplo comum é o 6, depois temos o 12, o próximo é o 18 e por aí vai. Podemos perceber que de 6 em 6 números, nós temos um múltiplo comum”, afirma o prof. Paulo.

Como nós queremos descobrir o mínimo múltiplo comum, o menor entre eles é o 6.

mmc(2,3) = 6

“Esse processo é interessante para identificar os múltiplos dos dois números. Fica até um pouco mais simples para entender o significado do MMC. Porém, tem outra forma que podemos calcular”, comenta o professor.

Vamos explorar essa outra maneira. Precisamos encontrar o MMC entre 30 e 36, por exemplo. A gente coloca um número do lado do outro, uma barra e começamos uma espécie de fatoração.
30, 36 |2
15, 18 |2
15,   9 |3
5,   3 |3
5,   1 |5
1,   1 |

Comece a divisão com os números primos. O número 2, por exemplo, divide o 30 e o 36. Nós repetimos ele e o 2 só divide o 18. Nesse caso, nós copiamos o 15 na linha de baixo e continuamos o cálculo.

Com a operação, nós tivemos o 2², o 3² e o 5. Nós vamos multiplicar eles para encontrar o mmc.

mmc (30, 36) = 2².3².5
mmc (30, 36) = 4.9.5
mmc (30, 36) = 180

“Repare que 180 é o menor múltiplo comum, mas a cada 180 nós teremos outros múltiplos comuns”, explica o professor.

Diferença entre MMC e MDC

De acordo com a professora Lari, a maior dificuldade dos alunos é saber quando usar o MMC e MDC.

MMC: “A gente usa muito quando é preciso somar ou subtrair duas frações. Para deixar o denominador das duas frações iguais, você pode fazer o MMC – assim, você encontra um número comum entre eles”, explica a professora.

MDC: “De forma geral, é o que aparece nos problemas. A gente acaba usando o MDC nos problemas”, afirma Lari.

A dica da profª Lari é escrever a sequência dos números e seguir o enunciado.

“Por exemplo, eu tenho um probleminha com os números 4, 8 e 12. Independente do que o enunciado pede, escreva o número de sequência do 4, do 8 e do 12 e veja se essa sequência é de divisor ou de múltiplo”, conclui.

Curtiu nosso post? Então, confira nosso guia completo sobre matemática e pratique com a lista de exercícios de MMC e MDC.