Matriz inversa: o que é, propriedades e mais!

Dando seguimento aos conteúdos de Matemática para o vestibular, abordaremos aqui o conceito de matriz inversa. De maneira geral, o tema das matrizes aparece com frequência nos processos seletivos em todo o país, assim como no Enem. Ao mesmo tempo, estudar Matemática é sempre um convite para desenvolver o raciocínio lógico e a capacidade de resolução de problemas.

Neste artigo, explicaremos tudo o que você precisa saber para responder perguntas sobre matriz inversa na hora da prova. Para iniciar, vamos recuperar o significado básico do conceito das matrizes e os tipos mais importantes para calcular a inversa: matriz quadrada e matriz identidade.

Depois, uma listagem com as características e regrinhas principais dessas expressões numéricas, pois entendê-las pode ser de grande ajuda na hora do vestibular. Por fim, tiramos de nosso banco de questões alguns exercícios resolvidos sobre o tema de como fazer matriz inversa, para que você possa testar o que foi aprendido. Vamos lá?

O que é matriz inversa?

Uma matriz é o mesmo que uma estrutura numérica arranjada como uma tabela. Cada matriz é distinta em seus próprios elementos: mudam os valores em cada quadrante e a quantidade de linhas e colunas. É possível também estabelecer operações matemáticas utilizando as matrizes. Este é o ponto que nos interessa para compreender as matrizes inversíveis.

Identificamos uma matriz inversa quando o resultado do produto ou a multiplicação de duas matrizes gera uma matriz identidade com a mesma ordem da anterior. De mesma ordem significa que elas têm uma equivalência entre si no número de colunas e linhas.

Portanto, essa que multiplica a primeira e satisfaz as condições determinadas é considerada uma matriz inversa. De forma resumida, as matrizes inversas sempre precisam ser de ambos os tipos: identidade e quadrada.

Matriz identidade

Este é um tipo bem específico de matriz, facilmente reconhecível. Falamos em matriz identidade quando sua diagonal principal, a linha que percorre toda a sua estrutura, é composta apenas pelo número 1 em cada quadrante. Além disso, todos os outros valores, externos à diagonal principal, são iguais a 0.

Matriz quadrada

Em todos os casos mencionados, tratamos aqui de matrizes quadradas. Esse tipo, assim como na figura geométrica do quadrado, tem a mesma quantidade de linhas e colunas. Ou seja, uma matriz quadrada com três linhas obrigatoriamente terá também três colunas de números.

Uma matriz inversa pode apenas ser obtida de uma matriz quadrada anterior. Da mesma forma, as matrizes identidade só podem ser definidas enquanto tal quando tipificadas também como uma matriz quadrada. Como exemplos, podemos citar a matriz inversa 2×2 e a matriz inversa 3×3, a primeira com duas linhas e colunas e a segunda com três de cada.

Propriedades da matriz inversa

Aqui vão algumas características e regras sobre a matriz inversa. Leia com atenção estes pontos, pois eles podem ajudar a resolver questões sem nem mesmo ter que recorrer a cálculos.

• apenas algumas matrizes admitem inversão, muitas delas não satisfazem os critérios necessários para isso;
• uma matriz que cumpre esses critérios é conhecida como matriz inversível, enquanto as outras, não inversíveis, recebem o nome de matriz singular;
• o inverso de uma matriz inversa corresponde à matriz original do enunciado;
• quando é possível a inversão, existirá apenas uma matriz inversa para cada matriz original.
• caso tenha possibilidade, utilize uma calculadora de matriz inversa, se não, ensinaremos logo a seguir como fazer com um papel e caneta à mão;

Como calcular matriz inversa?

As operações entre matrizes não admitem a possibilidade de divisão entre duas matrizes, o que poderia ocorrer normalmente no caso de uma soma, subtração ou produto. O método da matriz inversa possibilita então estabelecer o critério de inversão para esses quadros, assim como é possível fazer com os números reais.

Primeiro, é preciso saber se a matriz em questão é realmente reversível. Para isso, é necessário descobrir o seu determinante. Ele é o valor de um número real sob o qual determinada matriz está associada. Se esse valor for diferente de 0, podemos dizer que sim, essa é uma matriz reversível.

Para calcular a inversa, utilizamos a solução de sistemas lineares. Isso quer dizer que você deve multiplicar os elementos da primeira linha por cada coluna da segunda matriz. Depois, fará o mesmo com os valores da segunda linha da primeira matriz. Você já sabe que o produto entre uma matriz e sua inversa é uma matriz identidade, que já tem seus valores conhecidos.

Sendo assim, é possível montar um sistema de equações usando o método descrito acima e descobrir qual é a matriz inversa. Lembre-se de que o resultado dos produtos você já conhece: a matriz identidade. Portanto, o que falta descobrir é o segundo multiplicador desse produto: a matriz quadrada que será a inversa da primeira.

Funciona da seguinte forma: tomemos como exemplo determinada matriz 2×2 que chamaremos de A. Sua configuração é a de duas linhas por duas colunas, ou seja, trata-se, também, de uma matriz quadrada. Seus valores podem ser representados pelo conjunto de números A = {a, b, c, d].

Como se trata de uma matriz quadrada, ela admite inversão. Para fazer esse cálculo, basta realizar a operação onde A . A -¹ = I₂. Já sabemos o resultado da equação, uma matriz identidade de segunda ordem. Assim, fica fácil descobrir qual é a matriz inversa em nosso caso, e substituindo as operações obteremos os seguinte resultado, onde: A^-1 = {d, -b, -c, a}.

Exercícios de matriz inversa

Agora que você já conhece os princípios dessa matéria, que tal testar o que foi aprendido em exercícios resolvidos sobre matriz inversa? Vamos também dar as respostas, mas apenas no final do texto para que possa tentar por conta própria.

1. (Stoodi) Dada a matriz , são elementos de sua diagonal principal:

a) 15, 10, 5, 30.

b) 15, 4, 0, 8.

c) 30, 2, 0, 1.

d) 0, 0, 0, 0.

e) 15, 6, 0, 1.

2. (Stoodi) Dada a matriz , sua inversa é:

a)

b)

c)

d)

e)

3. (UEMG) Se a inversa de é , o valor de x é:

a) 5.

b) 6.

c) 7.

d) 9.

Esperamos que tenha se saído bem com essas questões sobre matriz inversa! Para resolver os problemas desse assunto, basta lembrar suas regras básicas, como os conceitos de matriz identidade e matriz quadrada. Além disso, é válido também aprender um pouco sobre resolução de sistemas lineares, ferramenta lógica utilizada para extrair a inversa de uma matriz.

Quer aprender mais sobre este e outros temas? Planeje sua rotina com nossa ferramenta de Plano de Estudos! Caso tenha outras dúvidas sobre Matemática, consulte os materiais gratuitos em nosso site.

Respostas dos exercícios

1. b; 2. c; 3. a.