Categorias: Matemática

Números complexos: o que são, exercícios e mais!

O termo números complexos, por si só, é o bastante para causar um nó na cabeça de muitos vestibulandos. Afinal, se para a grande parte dos estudantes a Matemática já é um problema, imagine o que podemos esperar de uma matéria que traz complexo em seu nome?

No entanto, você já pode ficar calmo: os números complexos não são nenhum bicho de sete cabeças. Com uma boa dose de atenção e muita persistência, é possível compreender muito bem esse conteúdo e mandar bem no Enem e outros vestibulares.

Tudo pronto para aprender um pouco mais sobre Matemática e desmistificar a complexidade dos números complexos? Lembre-se de que encarar a matéria com positividade e curiosidade traz resultados muito melhores aos estudos. Então, respire fundo e venha com a gente!

O que são números complexos?

Os números complexos não têm esse nome por conta de sua dificuldade. Afinal, essa é uma disciplina presente no ensino médio e, por isso, não há motivo para temê-la, já que ela não está retida apenas entre os grandes pensadores da área das ciências exatas.

O nascimento desse contexto se deu a partir de uma incoerência matemática. Os estudiosos observaram o fato de que os números negativos não dispunham de uma raiz quadrada e, a partir daí, desenvolveram algumas notações que poderiam resolver esse problema.

Outra origem para esse estudo foi a sua relação com as equações de terceiro grau, que ofereciam problemas muito mais complexos. Aí, foi elaborado o conceito de unidade imaginária, algo que permite um maior acesso aos números e suas infinitas possibilidades.

Eles são representados pela fórmula a + bi, aonde as letras a e b representam números reais e bi é a porção imaginária correspondente ao número complexo. Outra regrinha determina que o valor de a é uma porção real desse número.

Operações com números complexos

Nada de outro mundo, certo? Agora, chegou o momento de descobrirmos um pouco mais sobre esse assunto. A seguir, discutiremos quais são as operações efetuadas com os números complexos. Mais à frente, faremos alguns exercícios para pôr o nosso conhecimento em prova. Vamos lá?

Divisão com números complexos

Iniciaremos a nossa conversa sobre as operações com a divisão, que é normalmente uma das mais temidas pelos estudantes. O seu principal objetivo é retirar a parte imaginária do denominador, passando-o para a parte de cima da conta.

Exemplo:

Z1 = 10 – 3i

Z2 = 2 + 4i

Z / W = 10 – 3i / 2 + 4i

Após a montagem dessa parte da equação, é feita, em seguida, uma multiplicação com o conjugado do denominador com o sinal invertido. Ou seja:

(10 – 3i) / (2 + 4i) . (2 – 4i) / (2 – 4i)

Em seguida, aplica-se a propriedade distributiva. Observe:

(10 . 2) – (10 . 4i) – (3i . 2) – (3i . -4i) / (2 . 2) – (2 . -4i) – (4i . 2) – (4i . -4i)

à 20 – 40i – 6i + 12i^2 / 4 – 8i + 8i – 16i^2 (lembrando sempre que i^2 é o mesmo do que -1)

à 8 – 46i / 20

Simplificando tudo por 2, ficamos com:

Z / W = 4/10 – 23i/10

Multiplicação com números complexos

Agora chegou a hora de falarmos sobre a multiplicação com os números complexos. Mais uma vez, essa é uma operação muito simples e que poderá ser muito útil para você em questões de vestibulares.

Exemplo:

Z1 = 3 + 3i

Z2 = 4 + i

Z1 . Z2 = (3+3i) (4+i) à aplicar a propriedade distributiva

à 12 + 3i + 12i + 3i^2

à 12 + 15 i – 3

à 9 + 15i

A partir de agora, veremos operações bem mais simples e intuitivas. No entanto, a multiplicação não apresenta nenhum tipo de problema. Ela é composta justamente de elementos com os quais você já lida em seu dia a dia nas aulas de matemática!

Soma com números complexos

A adição de números complexos é uma das operações mais utilizadas em questões de vestibular. Aqui, para realizá-la, basta ter em mente as regras às quais já estamos acostumados para lidar com os números reais.

Exemplo:

Z1 = 3 + 3i

Z2 = 4 + 2i

Z1 + Z2 = 7 + 5i

Para efetuar essa conta, é necessário observar os grupos que estão formados dentro da equação. O 2 e o 4 são semelhantes, enquanto o 3i e o 2i também são, entre si. Por isso, as operações são feitas respeitando essas peculiaridades algébricas.

Subtração com números complexos

Assim como ocorre com a adição, as regras para a execução de subtrações com números complexos respeita às regras comuns de operações algébricas. Portanto, não há nada a temer!

Exemplo:

Z1 = 2 + 3i

Z2 = 4 + 2i

Z1 – Z2 = -2 + i

Z2 – Z1 = 2 – i

Como podemos observar, aqui a lógica segue a mesma do que na adição. É preciso isolar os fatores semelhantes e realizar as operações entre eles.

Antes de prosseguir com os exercícios, que estão logo a seguir, que tal conferir a página com o plano de estudos do Stoodi? Lá, você obterá todo o suporte necessário para dominar não só o conteúdo de números complexos , mas de todas as disciplinas fundamentais para que você consiga a sua tão sonhada vaga!