Perpendicular: o que significa esse termo matemático?
Entenda o que é perpendicular e como pode cair no vestibular!
Se você já estudou Geometria, já deve ter ouvido falar em perpendicularidade, ortogonalidade ou ainda seu exemplo mais clássico: retas perpendiculares.
Mas você sabe por que esse conceito é tão importante na Matemática? Muitos dos teoremas mais importantes da geometria plana foram provados usando declarações fundamentais sobre as retas perpendiculares.
Neste texto vamos aprofundar mais no significado de perpendicular, entender sua importância para a geometria e formular as equações que descrevam retas desse tipo. Acompanhe!
O que é perpendicular?
A perpendicularidade é uma propriedade geométrica que descreve duas retas que se encontram formando um ângulo reto (90º). Outros objetos geométricos, e não somente retas, podem ser perpendiculares também.
Para dizermos que uma reta A é perpendicular à reta B, temos que verificar duas coisas:
- as retas se intersectam;
- no ponto de interseção, as retas formam entre si dois ângulos congruentes do mesmo lado.
Repare que, como consequência, esses dois ângulos medem exatamente 90º cada, já que o ângulo total de um lado da reta é de 180º.
Também é importante ver que a propriedade das linhas perpendiculares é simétrica, ou seja, se A é perpendicular à B, B é perpendicular à A. É por isso que podemos dizer simplesmente que as retas são perpendiculares, sem especificar qual em relação a qual.
Podemos facilmente usar esse conceito para segmentos de reta: se, quando estendidos como retas infinitas para os dois lados, essas retas forem perpendiculares, então esses segmentos também são.
No caso dos planos, uma reta é perpendicular a um plano se ela é perpendicular a todas as retas que ela intercepta naquela plano.
Retas paralelas e perpendiculares
Quando falamos de retas perpendiculares, é muito fácil cair em outro conceito: o de retas paralelas. Isso porque a forma como as retas paralelas são definidas está diretamente ligada com a definição de retas perpendiculares. No livro Elementos, conhecido como a “bíblia da geometria”, Euclides definiu o “postulado das paralelas” com as seguintes palavras:
É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então as duas retas, se continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.
Vamos pensar no que Euclides está dizendo:
são três retas envolvidas, A, B e C, e A e B interceptam C. O postulado diz que se escolhermos um lado de C e somarmos os ângulos internos formados entre A e C e B e C, e se essa soma for menor que 180º (dois ângulos retos), então as retas vão se encontrar em algum ponto desse mesmo lado. Nesse caso, as retas formam quase um triângulo.
Você deve ter reparado que o postulado das paralelas não usa a palavra “paralela” em nenhum lugar. Porém, ele é equivalente ao dizer que, se duas retas são perpendiculares a uma terceira, então essas retas nunca se encontram, e a esse tipo de relação damos o nome de “retas paralelas“.
Se as retas forem perpendiculares, todos os ângulos formados serão de 90º e, portanto, suas somas serão sempre 180º, nunca menores, não podendo cumprir a consequência do postulado, que é se encontrar em algum ponto.
Formalmente, as retas paralelas nunca se encontram. Mas usando o cálculo infinitesimal, uma área bem mais complexa da Matemática que só é estudada na faculdade, chegamos à conclusão de que as retas paralelas só se encontram no infinito.
Apesar de isso ser uma abstração, podemos quase enxergar esse acontecimento quando olhamos para uma estrada reta, por exemplo. As linhas realmente parecem se encontrar no infinito. Legal, não é mesmo?
Equação das retas perpendiculares
Uma reta no plano cartesiano pode ser determinada a partir de dois pontos distintos. A equação geral da reta nós já conhecemos: a reta r com coeficiente angular a e coeficiente linear b é descrita por:
r: y = ax + b
Sabemos que o coeficiente angular é também a tangente do ângulo α feito entre a reta r e o eixo x (o ângulo é sempre medido em sentido anti-horário, portanto, à direita da reta r e acima do eixo x).
Logo:
a = tg(α)
Perceba que qualquer reta s perpendicular a r no plano forma um triângulo, no qual os lados são as duas retas, r e s, e o eixo x. Esse triângulo é retângulo, já que r e s são perpendiculares, portanto formam um ângulo reto.
Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, temos que o ângulo interno formado entre a reta s e o eixo x mede 90º – α. Esse ângulo é interno ao triângulo, mas o ângulo que precisamos é o complementar β, pois é ele que está à direita da reta s, logo:
β = 180º – (90º – α) = 90º + α
A reta s tem equação dada por:
s: y = a’x + b’
a’ = tg(β) = tg(90º + α)
Pelas identidades trigonométricas, temos que tg(A + B) = sen(A + B)/cos(A + B)
Portanto:
a’ = tg(β) = sen(90º + α)/cos(90º + α) = /
Sabemos que sen(90º) = 1 e cos(90º) = 0.
Logo:
a’ = cos(α)/-sen(α) = 1/-tg(α) = -1/a
Conclusão: quando r e s são perpendiculares, a’ = -1/a, e logo a*a’ = -1
Temos a proposição:
Dada as retas r e s descritas pelas seguintes equações:
- r: y = ax + b
- s: y = a’x + b’
Então r é perpendicular a s, se e somente se, a*a’= -1.
Equação das retas paralelas
O caso das paralelas é bem mais simples de se deduzir. Para serem paralelas, as retas têm que ser interceptadas por uma reta perpendicular às duas. Mas como vimos no caso acima, se a*a’ = -1, então r e s são perpendiculares. Se temos uma terceira reta q, definida pela equação
q: y = a”x + b”
Então queremos que ela também seja perpendicular a s, o que significa que ela será paralela a r.
Vejamos: se a”*a’= -1, então q é perpendicular a s.
Mas a’ = -1/a, então:
a”*a’ = a”*-1/a = -1
Isso significa que a” = a, ou seja, os coeficientes angulares de r e q são iguais.
Para que elas sejam retas diferentes, vamos pedir apenas que b ≠ b”.
Então temos a proposição:
Dada as retas r e q descritas pelas seguintes equações:
- r: y = ax + b
- q: y = a”x + b”
Então r é perpendicular a q, se e somente se, a = a” e b ≠ b”.
Exercícios de retas perpendiculares e paralelas
Agora que você já sabe tudo sobre retas perpendiculares e paralelas, que tal testar seus conhecimentos fazendo os exercícios Stoodi? E se ainda estiver com dúvidas, corra para as videoaulas sobre o estudo das retas na geometria plana!
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