Vai fazer o Enem ou outro vestibular em breve? Então é preciso estar afiado em Geometria para a prova de Matemática! A Geometria é uma área imensa da Matemática, e suas aplicações no cotidiano vão desde escolher como atravessar a rua até a organização do tráfego aéreo.
Se você está precisando de uma forcinha no estudo dos polígonos regulares, vem com a gente que vamos explicar tudo sobre esse assunto!
A definição de polígono regular está atrelada à definição de polígonos. Os polígonos são formas planas fechadas limitadas por uma cadeia de segmentos de reta. Em linguagem simples, são formas fechadas e com lados retos.
A diferença dos polígonos regulares é que todos seus lados são iguais e os ângulos formados por esses lados também são iguais. Dizemos que eles são equiláteros e equiângulos. Esses polígonos regulares podem ser convexos ou estelares, mas já já vamos falar mais sobre isso.
Os polígonos regulares têm propriedades que independem de serem convexos ou estelares. Vamos conhecer algumas:
Os polígonos convexos são aqueles em que nenhum lado se intercepta e, além disso, o segmento de reta que liga quaisquer dois pontos do polígono sempre está contido dentro dele, como triângulos, quadrados, quadriláteros, pentágonos etc. (faça o teste!)
Agora uma curiosidade: perceba que cada vez que aumentamos o número de lados de um polígono regular convexo, cada vez mais ele se parece com um círculo. E sim, podemos pensar no círculo como um polígono regular de infinitos lados. Interessante, não é?
Já falamos sobre a primeira propriedade dos polígonos convexos: um segmento de reta que liga dois pontos do polígono está sempre contido nele. Uma outra propriedade bem importante é que todos os ângulos internos de um polígono convexo são menores ou iguais a 180º.
Já os polígonos estrelas são isso mesmo que o nome diz, estrelas de várias pontas. Quando desenhamos uma estrela de cinco pontas da forma tradicional, sem tirar o lápis do papel, temos um polígono regular estelar (se você conseguir fazer todos os lados e os ângulos iguais).
Mas as estrelas podem ter quantas pontas você quiser, basta ir aumentando o número de lados de dois em dois. Um exemplo diferente é a estrela de Davi, que tem 6 pontas.
Perceba que os lados de um polígono estelar sempre se interceptam. No caso da estrela de cinco pontas desenhada de forma tradicional, ela é formada por um pentágono central e cinco triângulos para as pontas, certo?
Mas se você apagar as linhas que formam o pentágono no interior da estrela, você terá um polígono não regular. Isso porque os lados ainda serão todos iguais, mas os ângulos das pontas serão diferentes dos ângulos formados entre lados de duas pontas diferentes.
Sabemos muito pouco sobre os polígonos estelares. Alguns matemáticos se debruçaram sobre eles, mas a maioria dos problemas de Geometria gira em torno de polígonos regulares convexos. Todos os polígonos regulares simples, isto é, que não têm lados que se interceptam, são convexos, por isso são bem mais comuns. Vamos nos ater a eles em seguida.
Os polígonos regulares convexos são geralmente denotados por {n}, em que n é o número de lados. Note que o {1} e o {2} são objetos um pouco estranhos: o {1}, o monógono, só tem um lado e um vértice, consegue imaginar?
É um segmento de reta circular em que o ponto inicial e final se encontram para formar um só vértice. É um círculo, com um vértice. Mas como as extremidades desse único lado precisam coincidir, a geometria Euclidiana não considera o monógono, principalmente porque a maioria das propriedades não vale para ele.
O {2}, chamado de diágono, também não é considerado. Podemos imaginá-lo como um círculo em que dois pontos extremos são os vértices. Dois lados, dois vértices, dois ângulos de 180º. Mas como os lados precisam ser curvos para funcionar, o diágono também é deixado de fora.
A partir do {3}, o triângulo equilátero, todas as propriedades abaixo funcionam.
Sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180º, basta dividirmos o polígono em vários triângulos escolhendo um vértice e traçando as diagonais. Teremos n – 2 triângulos formados. Logo, a soma dos ângulos internos será:
S = (n – 2) x 180
Como todos os ângulos internos de um polígono regular são iguais, basta calcularmos a soma dos ângulos internos e dividir pelo número de ângulos. Como o número de ângulos é igual ao número de lados, temos:
A = S/n = /n
As diagonais são os segmentos de reta que conectam dois vértices não consecutivos do polígono. Portanto, cada vértice de um polígono de n lados tem n – 3 diagonais, já que podem ser ligados a todos os outros vértices, menos aos dois consecutivos e a ele próprio.
Temos essa mesma soma para todos os vértices, portanto, o número de diagonais poderia ser dado pelo produto n x (n-3). Porém, perceba que nessa conta, estamos contando cada diagonal duas vezes, porque contamos a diagonal que sai do vértice A até o C e também a que vai do vértice C até o A. Por isso, precisamos dividir por dois, já que só a metade deles valerá.
A soma D do número de diagonais de um polígono regular é dada por:
D = /2
Para calcularmos a área de um polígono regular, vamos precisar da ajuda de uma nova definição: o apótema. O apótema é a medida do segmento que vai do ponto médio de um de seus lados até o centro da circunferência em que está inscrito, formando um ângulo reto, de 90º, com esse lado.
Muitas vezes é possível calcular a medida do apótema usando as relações trigonométricas, mas na maioria das vezes, o apótema está dado no problema.
Repare que os apótemas, junto com os segmentos que levam do ponto central aos vértices, dividem o polígono em vários triângulos retângulos. Quantos? Exatamente 2 x n, já que cada lado será dividido em dois pelo apótema.
A altura desse triângulo retângulo é o apótema a, e a base é metade do lado, ou seja, L/2. Usando a fórmula padrão para a área de triângulos retângulos, área = (base x altura)/2, temos a área desses triângulos retângulos T = /2. Como são 2 x n triângulos desse tipo, temos a área dada por:
A = {/2} x (2 x n) = (n x L x a)/2
A fórmula geral do apótema é: a = L/, em que L é o lado do polígono e tg é a tangente.
Lembra que dissemos que quando o número de lados do polígono regular convexo vai crescendo, ele vai se aproximando de um círculo? Sua área também. Quão maior é o número de lados, mais próxima a área fica de pi x r². Para ver isso, basta perceber que, à medida que o número de lados cresce, o polígono vai ficando mais próximo do círculo circunscrito.
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