Polinômios: o que são, operações e fatoração!

Polinômios: o que são, operações e fatoração!

Quem está estudando para os vestibulares ou para o Enem terá que lidar, em algum momento, com a Matemática. Agradável para uns, temida por muitos, essa área do conhecimento é cheia de desafios!

A álgebra, por exemplo, costuma confundir a cabeça de muita gente que não tem tanta facilidade com esse tipo de assunto. A generalização que essa parte da matemática traz para a aritmética, com suas variáveis, expressões e fórmulas, pode amedrontar muita gente! Mas é tudo uma questão de entender e conhecer cada um dos conceitos.

Os polinômios, por exemplo, são expressões fundamentais para essa área da matemática e não precisam ser um bicho de sete cabeças! Neste post, vamos falar tudo sobre eles. Confira!

O que são polinômios?

Polinômios, como o próprio nome já sugere, são expressões algébricas decorrentes da adição de monômios. Estes são constituídos tanto por números já conhecidos quanto por variáveis desconhecidas.

Nos polinômios, os números correspondem aos coeficientes da expressão e as letras representam as variáveis, com valores desconhecidos até então. Abaixo, alguns exemplos:

• 4x + 2y – x²
• 3x + 5y + 7z

O que são monômios?

Já os monômios são resultantes da multiplicação entre números conhecidos e as variáveis representadas por letras. Entretanto, as divisões por variáveis não são consideradas monômios, mas sim frações algébricas. Abaixo, exemplos de monômios:

• 4x
• 2y
• 3xy³

Binômios

Os binômios são aqueles polinômios que possuem apenas dois monômios, separados por uma operação de adição ou subtração. Exemplificando:

• 2x + 4y
• a² – b²
• 3ab + 5c

Trinômios

Por fim, os trinômios são os polinômios que têm em sua expressão a aparição de três monômios (ou termos), separados pela expressão de soma ou subtração, como podemos ver abaixo:

• x³ + 4y + 5
• 2ab + 4c – 10d
• 2a + 2b + 5c

Grau dos polinômios

Os polinômios possuem diferentes graus, podendo ser reconhecidos por meio dos expoentes apontados em suas variáveis literais. Para encontrar o grau de um polinômio, deve-se somar os expoentes das letras de cada termo. A maior soma corresponderá ao grau do polinômio em questão. Veja nos exemplos abaixo:

3x³ + y

Na expressão acima, o primeiro termo do polinômio (que, neste caso, é um binômio) tem expoente equivalente a 3. O segundo termo tem expoente de 1. Como 3 é maior que 1, dizemos que o polinômio em questão tem grau 3.

3x²y + 5x³y³ – xy²

Na soma dos expoentes de cada termo, temos:

3x²y, somando 2 + 1, temos 3;

5x³y³, somando 3 + 3, temos 6;

xy², somando 1 + 2, temos 3.

Como a soma dos expoentes é maior no segundo termo do polinômio, seu grau é 6.

Operações com polinômios

Ao tratarmos de polinômios, podemos aplicar diversas operações, como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adição com polinômios

A operação de adição de polinômios deve ser feita por meio da soma dos coeficientes de termos semelhantes, ou seja, daqueles com mesma parte literal, conforme o exemplo abaixo:

(- 7x³ + 5 x²y – xy + 4y) + (- 2x²y + 8xy – 7y)

– 7x³ + 5x²y – 2x²y – xy + 8xy + 4y – 7y

– 7x³ + 3x²y + 7xy – 3y

Como podemos observar acima, os termos semelhantes são colocados lado a lado e a soma dos termos é feita sequencialmente. Abaixo, mais um exemplo:

(3x³ + 2x² + x + 1) + (x³ + 4x² – 15x – 1)

3x³ + 2x² + x + 1 + x³ + 4x² – 15x – 1

(3 + 1)x³ + (2 + 4)x² + (1 – 15)x + 1 – 1

4 x³ + 6 x² – 14x

Subtração com polinômios

A subtração entre polinômios envolve uma propriedade da multiplicação, chamada de distributiva, modificando todos os sinais do segundo polinômio da operação. Apenas após a realização dessa troca de sinais é que é possível dar sequência ao processo de subtração. Veja no exemplo:

(4x² – 5ky + 6k) – (3x – 8k)

4x² – 5xk + 6k – 3xk + 8k

4x² – 8xk + 14k

Como é possível ver no exemplo acima, mais simplificado, o segundo polinômio tem seus sinais completamente invertidos. Abaixo, uma operação mais complexa:

(3x³ + 2x² + x + 1) – (x³ + 4x² – 15x – 1)

3x³ + 2x² + x + 1 – x³ – 4x² + 15x +– 1

3x³ – x³ + 2x² + 4x² + x + 15x + 1 + 1

(3 – 1)x³ + (2 – 4)x² + (1 + 15)x + 1 + 1

2x³ – 2x² + 16x + 2

Se observarmos atentamente, a operação de subtração consiste apenas na inversão do sinal entre os polinômios, de modo que, após o processo, segue normalmente, assim como se dá nas operações de adição.

Multiplicação com polinômios

A multiplicação de polinômios leva completamente em conta a propriedade distributiva dos polinômios, popularmente conhecida como “chuveirinho”. Para utilizar esse recurso, é só multiplicar cada monômio do primeiro polinômio por todos os monômios do segundo polinômio, sempre levando em consideração os sinais de cada resultado. Veja abaixo, no exemplo:

(3x² – 5x + 8) . (-2x + 1)

– 6x³ + 3x² + 10x² – 5x – 16x + 8

– 6x³ + 13x² – 21x +8

Observe que, na multiplicação de variáveis (letras) iguais, repete-se e soma-se cada um dos expoentes. Abaixo, mais um exemplo:

(2x + a) . (2x -4a)

2x . 2x – 2x . 4a + a . 2x – a . 4a

4x² – 6xa – 4ª²

Divisão com polinômios

Na divisão de polinômios, é utilizado o chamado método chave, da mesma maneira que fazemos com números inteiros. Veja abaixo o exemplo:

Na divisão de P(x) = x³ + 7x² + 15x + 9 pelo polinômio D(x) = x + 1, o primeiro é o dividendo e o segundo é o divisor, sendo o Q(x) o quociente. O primeiro passo é buscar um monômio que, se for multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, apresente o termo de grau mais alto do dividendo. Para a operação acima, esse monômio é x².

Após encontrá-lo, multiplique-o pelo divisor, colocando o resultado sob o dividendo, assim como fazemos para a divisão de números inteiros. Ou seja:

x³ + 7x² + 15x + 9 : x + 1 = x²

x² . (x + 1) à x³ + x²

O resultado dessa multiplicação é, então, subtraído do dividendo, de modo que os sinais devem ser trocados. Assim:

x³ + 7x² + 15x + 9 – x³ – x²

Aqui, o resultado fica em 0 + 6x² +15x + 9, pois devemos “descer” na operação todos os termos que não foram subtraídos dessa vez. Agora, o procedimento é repetido até que o resto tenha menor grau que o divisor. Então, na sequência dessa operação, temos como resultado x² + 6x + 9.

Fatoração com polinômios

Fatoração é um processo matemático que busca representar números ou expressões como produtos de fatores. Quando escrevemos um polinômio como o resultado da multiplicação de outros polinômios, geralmente conseguimos expressar esse resultado de maneira mais simplificada.

Existem alguns tipos de fatoração de polinômios, que explicaremos a seguir.

Fator comum em evidência

Esse tipo de fatoração é usado quando existe um fator recorrente em todos os termos do polinômio. Pode conter números e letras, sendo assim colocado à frente dos parênteses. Dentro desses parênteses, fica o resultado da divisão de cada termo pelo fator comum.

Assim, o “passo a passo” desse tipo de fatoração se dá em 3 etapas, sendo:

1. Identificar algum número que divida todos os coeficientes do polinômio e as letras que se repetem em cada um dos termos;
2. Colocar os fatores comuns, sejam eles números ou letras, na frente dos parênteses, em evidência;
3. Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator identificado do polinômio pelo que está na frente dos parênteses. Para letras, utiliza-se a regra da divisão de potências que possuem mesma base.

Veja, abaixo, um exemplo:

Como expressar a forma fatorada de 12x + 6y – 9z?

Primeiramente, identificamos que todos os coeficientes podem ser divididos por 3 e que não há nenhuma letra repetida. Na sequência, coloca-se 3 na frente dos parênteses, dividindo todos os termos por esse número e colocando o resultado da operação dentro dos parênteses. Assim, temos que:

12x + 6y – 9z = 3(4x +2y – 3z)

Como fatorar o polinômio 2a²b + 3a³c – a⁴?

Na primeira etapa, verificamos que não há nenhum número que seja capaz de dividir, ao mesmo tempo, 2, 3 e 1. Assim, nenhum número é colocado à frente dos parênteses.

Na sequência, podemos perceber que a letra “a” se repete em cada um dos termos do polinômio. Portanto, o fator comum será a², já que este é o menor expoente de “a” no polinômio. Assim, dividimos cada termo do polinômio por a², tendo como:

2a² b : a² = 2a² – 2 b = 2b

3a³c : a² = 3a³ – 2 c = 3ac

a⁴ : a² = a²

Por fim, coloca-se a² na frente dos parênteses e o resultado da divisão dentro deles, tendo como resultado da fatoração:

2a²b + 3a³c – a⁴ = a² (2b + 3ac – a²)

Agrupamento

Outra forma de realizar uma fatoração de polinômios é o agrupamento, utilizado quando não há um fator que se repita em cada termo. Para tanto, precisamos identificar termos que podem se agrupar por fatores comuns. Aqui, colocam-se esses fatores comuns de cada agrupamento em evidência, como no exemplo abaixo:

Fatorar mx + 3nx + my + 3ny

Observando, temos que “mx” e “3nx” têm “x” como fator comum. Já “my” e “3ny” têm “y”, da mesma forma. Colocando-os em evidência, temos:

x(m + 3n) + y(m + 3n).

Agora, (m + 3n) está presente em ambos os termos, de modo que podemos repetir o processo e colocar novamente em evidência. Assim, o resultado é:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) . (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito

Como você já sabe, trinômios são polinômios que possuem três termos. Os trinômios quadrados perfeitos a² + 2ab + b² e a² – 2ab + b² são o resultado do produto notável de tipo (a + b)² e (a – b)².

Dessa forma, a fatoração de um trinômio quadrado perfeito se dá como:

• a² + 2ab + b² = (a + b)² (quadrado da soma de dois termos)
• a² – 2ab + b² = (a – b)² (quadrado da diferença de dois termos)

Para descobrir se o polinômio em questão é um trinômio quadrado perfeito, calculamos a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado, multiplicamos os resultados por 2 e comparamos o valor encontrado com o termo que não está ao quadrado. Se for igual, temos um trinômio quadrado perfeito. Veja melhor no exemplo abaixo:

Fatorando x² + 6x + 9

Testando a expressão, temos que:

√x² = x e

√9 = 3

Multiplicando os valores encontrados por 2, temos que 2 . 3 . x = 6x. Já que o resultado (6x) é igual ao termo que não está ao quadrado (6x), este é um trinômio quadrado perfeito. Dessa forma, a fatoração é:

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Diferença de dois quadrados

Quando o polinômio é do tipo a² – b², usamos o produto notável da soma pela diferença, de modo que a fatoração desse tipo de expressão se dá como:

a² – b² = (a + b) . (a – b)

Para realizar a fatoração, calculamos a raiz quadrada de cada um dos termos. Depois disso, escrevemos o produto da soma dos resultados pela diferença entre eles. Veja no exemplo:

Fatore 9x² – 25

O primeiro passo é encontrar a raiz quadrada dos termos:

√9x² = 3x e

√25 = 5

Agora, escrevemos os resultados como produto da soma pela diferença:

9x² – 25 = (3x + 5) . (3x – 5)

Cubo perfeito

Por fim, temos a fatoração de polinômios do cubo perfeito. São os polinômios do tipo a³ + 3a²b + 3ab² + b³ e a³ – 3a²b + 3ab² – b³, resultados dos produtos notáveis de tipo (a + b)³ e (a – b)³. Assim, fazemos a fatoração do cubo perfeito como:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

A fatoração deste tipo de polinômio se dá pelo cálculo da raiz cúbica dos termos ao cubo. Depois, conferimos se o polinômio se encaixa como cubo perfeito. Em caso positivo, elevamos ao cubo o resultado das somas ou subtrações dos valores de cada raiz cúbica encontrada. Veja abaixo, no exemplo:

Fatore x³ + 6x² + 12x + 8

Primeiro, calcula-se a raiz cúbica de termos ao cubo:

³√ x³ = x e

³√ 8 = 2

Para confirmar se é um cubo perfeito:

3 . x² . 2 = 6x²

3 . x . 2² = 12x

Já que os resultados encontrados na confirmação são iguais aos termos do polinômio, significa que este é um cubo perfeito. Dessa maneira, a fatoração segue assim:

x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³

Para se acostumar com as operações e os exercícios de polinômios, a melhor maneira é treinar! Observe as formas de fatoração e pratique muito com exercícios!

Curtiu este post? Então aproveite também para acessar nossa base de exercícios de polinômios e nosso guia completo sobre as equações de 3º grau! Não deixe de conferir também nosso post onde falamos sobre os assuntos que mais caem na prova de Matemática do Enem!