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Ponto, reta e plano: o que é, exercícios e mais!

A Geometria Plana é uma matéria da Matemática que constantemente é cobrada nos vestibulares, seja em questões conceituais, seja em questões que exigem do aluno cálculos e interpretações espaciais. Deste modo, estudar sobre ponto, reta e plano é extremamente importante para quem deseja fazer boas provas ao fim do ano, especialmente na prova do Enem.

Com o objetivo de direcionar os estudantes, preparamos um conteúdo abordando a definição de ponto, reta e plano, suas aplicações na Geometria Plana e, ainda, exemplos de exercícios parecidos com o que poderão cair no Enem. Boa leitura!

Qual a definição de ponto, reta e plano?

Muitos estudantes confundem algumas definições na Geometria Plana, o que acaba, infelizmente, originando equívocos na hora de resolver as atividades.

Para você não cometer mais esse erro, confira os conceitos de ponto, reta e plano logo abaixo.

Ponto

Um ponto na Matemática é caracterizado obrigatoriamente por:

ser adimensional, isto é, não ter dimensão (diâmetro, tamanho, altura etc.);
ser representado por uma letra maiúscula;
encontrar-se no espaço de tal forma que infinitas retas conseguem interceptá-lo; em outras palavras, um ponto pode ser atravessado por infinitas retas;
dividir uma reta em duas semirretas, desde que esse ponto pertença à reta em questão.

Distância entre dois pontos

Há uma fórmula que nos permite calcular a distância entre dois pontos quaisquer situados no espaço:

Onde:

d(A,B) – distância de um ponto A até um ponto B;
x2 – coordenada x do ponto B;
x1 – coordenada x do ponto A;
y2 – coordenada y do ponto B;
y1 – coordenada y do ponto A.

Reta

Um traçado na Matemática pode ser estabelecido como uma reta quando:

não tiver origem tampouco extremidade;
ser representado por letras minúsculas;
ser adimensional, uma vez que a reta não tem extremidades (início e fim), sendo impossível, assim, determinar seu comprimento;
ser composto por um conjunto de infinitos pontos.

Além disso, vale ressaltar que dois pontos quaisquer no espaço podem determinar ou individualizar uma reta, é dai que vem a famosa frase na Matemática: “dois pontos definem uma reta“.

Plano

Já um plano precisa ser:

obrigatoriamente formado por no mínimo 3 pontos não colineares (que não pertencem à mesma reta); ou por um ponto e uma reta (desde que esse ponto esteja fora da reta); ou por duas retas concorrentes (são retas que se cruzam); ou por duas retas paralelas;
representado por letras do alfabeto grego, como α (alfa), β (beta) e γ (gama).

Plano e espaço: são iguais?

Não. Precisamos deixar claro que espaço e plano são conceitos na Geometria completamente distintos. Isso porque o espaço é caracterizado pela justaposição de vários planos (colocar um sobre o outro de maneira muito próxima, contudo, que não haja pontos em comum).

Neste contexto, o espaço é a região (a qual é ilimitada e infinita) onde as figuras geométricas e os sólidos em geral podem ser construídos, fazendo sentido assim proporcionar medidas de profundidade, largura e comprimento para todos os objetos.

Ponto, reta e plano: exercícios

Há diversas formas do Enem ou um vestibular tradicional cobrar do aluno questões sobre ponto, reta e plano, isso porque a prova pode perguntar conceitos e também exigir cálculos algébricos, como mostraremos abaixo:

1) Calcule a distância entre dois pontos no plano cartesiano os quais têm coordenadas x1 = 4, y1 = 7 e x2 = 10 e y2 = 15.

Resolução

Basta aplicar a fórmula da distância entre dois pontos para solucionarmos o exercício. Veja abaixo:

d_AB = √

Substituindo os pontos, temos:

d_AB = √

d_AB = √100

d_AB =10 m.

2) A Geometria Plana na Matemática é composta por um conjunto de retas, pontos e planos os quais dão origem a infinitas figuras e desenhos geométricos.

Considerando as definições dos elementos que compõem a Geometria Plana, é falso afirmar que:

a) um ponto não pode ser atravessado por mais que uma reta.

b) é impossível determinar o comprimento de uma reta, já que ela é adimensional.

c) um plano pode ser criado a partir de duas retas paralelas.

d) todos os pontos são especificados na Matemática como algo adimensional.

Resolução

Alternativa falsa letra “a”. Como destacamos acima, um ponto pode ser atravessado por infinitas retas.

3) Um corredor está participando de um percurso o qual se inicia no ponto A (4, 5), passa por B (7,10) e tem a linha de chegada no ponto C (13,20).

Calcule a distância total percorrida por esse corredor.

Resolução

Neste caso, precisamos aplicar a fórmula duas vezes, calculando assim a distância de A para B, depois de B para C e posteriormente somar os resultados.

dAB = √

dAB = √34

dAB ≅ 5,83.

Agora calculando a distância de B para C:

dBC = √

dBC = √136

dBC ≅ 11,66.

Portanto, distância de A para C passando pelo ponto B é de 5,83 + 11,66 = 17,50.

Agora que você já sabe os conceitos de ponto, reta e plano, fica mais simples de fazer os exercícios de Geometria Plana. Vale ressaltar que essas definições são também extremamente importantes para a resolução de questões que abordam Geometria Sólida, ou seja, é uma matéria que abrange muitas áreas da Matemática, sendo assim, essencial para quem deseja fazer um bom Enem.

E aí, gostou de aprender sobre ponto, reta e plano? Que tal ter acesso a temas ainda mais aprofundados e poder assistir a várias videoaulas? Conheça nosso plano de estudos e fique por dentro de tudo sobre o mundo dos vestibulares!

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