Semelhança de triângulos: o que é, casos e exercícios!

Ah, os triângulos! Aparentemente simples, mas cheios de mistérios, essas formas geométricas são revisitadas ao longo de toda a nossa vida escolar. Incrível, não é mesmo? E não é para menos: seu estudo é fundamental não só para a Geometria, mas também para conceitos de Física e de muitas outras disciplinas. Hoje, portanto, falaremos sobre a semelhança de triângulos.

Esse conceito ajuda bastante na resolução de uma série de exercícios, com mais rapidez e menos chance de erros. Para dominá-lo, é preciso muita prática e visão. Por isso, não fique só na teoria e mande ver nos exercícios de semelhança de triângulo para pegar o jeito!

Vamos explicar o que é esse conceito, como ele funciona, quais são as fórmulas e casos mais comuns, entre outros pontos importantes. Ao fim do bate-papo, resolveremos alguns exercícios para fixar o que aprendemos. Agora, chega de conversa e mãos à obra!

O que é semelhança de triângulos?

Para entender a ideia geral do que seria a semelhança de triângulos, basta observar sua própria nomenclatura. Aqui, faremos uma comparação entre um triângulo e outro. Sim, é isso mesmo! Nossa conversa de hoje será, basicamente, sobre isso.

Essa comparação é feita a partir de alguns critérios. Utilizaremos, portanto, os lados e os ângulos para determinar se um triângulo é ou não semelhante a outro. Outro conceito muito importante aqui será o de razão e proporção. Se isso ainda não está na ponta da sua língua, dê uma revisadinha antes de prosseguir!

Teorema da semelhança de triângulos

Agora, vamos ao que interessa: o início real de nossos estudos sobre a semelhança triangular. Aqui, utilizaremos uma adaptação do bom e velho Teorema de Tales. Por isso, mais uma vez: dê uma revisada caso julgue necessário.

Para entendermos o teorema, imagine um triângulo de lados iguais. Agora, imagine que uma reta cortou esse triângulo na horizontal, formando uma forma triangular menor e uma espécie de paralelogramo embaixo desta.

O teorema fundamental nos diz que, obrigatoriamente, o triângulo original (o grandão) será semelhante ao pequeno, formado após a intersecção da reta. Esse tipo de conceito facilita e muito na hora de resolver diversos exercícios!

Razão entre áreas de triângulos

A razão entre as áreas, também chamada de razão de semelhança, é a relação estabelecida entre pontos iguais dos triângulos que estão sendo comparados. Exemplo: o lado direito dos dois triângulos ou os ângulos internos do vértice superior.

Essa relação sempre segue uma constante, que nos mostra que os triângulos são ou não semelhantes. Esse conceito precisa ser treinado bastante em exercícios para não escapar da sua mente na hora da prova!

Casos de semelhança de triângulos

Agora, veremos 3 casos de semelhanças de triângulo. Não se preocupe em decorar seus nomes, já que eles são bastante intuitivos e você passará a associá-los melhor com a prática frequente de exercícios. Vamos lá?

Caso 1: AA (ângulo e ângulo)

O primeiro caso, que estabelece uma relação entre os ângulos dos triângulos comparados, nos diz que duas formas só serão semelhantes se os ângulos internos forem congruentes. Ou seja: o mesmo ângulo observado no vértice inferior esquerdo deve estar presente no mesmo ponto do outro triângulo.

Caso 2: LLL (lado, lado e lado)

O caso 2 é um dos mais conhecidos empiricamente por nós. De certa forma, nós o estudamos desde o início da vida escolar. Aqui, os triângulos serão semelhantes se seus três lados obedecerem a uma razão entre si.

Caso 3: LAL (lado, ângulo e lado)

Por fim, o caso 3, que relaciona dois lados e um dos ângulos dos triângulos comparados. Aqui, a relação estará correta se as formas exibirem uma proporcionalidade entre um ângulo qualquer e os dois lados que o interceptam — lembrando que, é claro, a posição do ângulo e dos lados deve ser a mesma em ambas as formas.

Semelhança de triângulos: exercícios

Para finalizar a nossa conversa de hoje com chave de ouro, que tal fazermos alguns exercícios? Em Matemática, boa parte de nosso conhecimento é construído dessa forma e, por isso, não devemos nos limitar à teoria. Vamos lá!

1. (Enem) A inclinação de uma rampa é calculada da seguinte maneira: para cada metro medido na horizontal, medem-se x centímetros na vertical. Diz-se, nesse caso, que a rampa tem inclinação de x%, como no exemplo da figura:

A figura apresenta um projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento.

Depois de projetada a rampa, o responsável pela obra foi informado de que as normas técnicas do município onde ela está localizada exigem que a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem residencial seja de 20%.

Se a rampa projetada tiver inclinação superior a 20%, o nível da garagem deverá ser alterado para diminuir o percentual de inclinação, mantendo o comprimento da base da rampa.

Para atender às normas técnicas do município, o nível da garagem deverá ser:

a)     elevado em 40 cm.

b)     elevado em 50 cm.

c)      mantido no mesmo nível.

d)     rebaixado em 40 cm.

e)     rebaixado em 50 cm.

Resposta: D

2. (Fuvest) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB=AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a:

a)     24 cm.

b)     13 cm.

c)      12 cm.

d)     9 cm.

e)     7 cm.

Resposta: C

Com tantos conceitos dentro de um conceito, já deu para notar que a semelhança de triângulos é um tema não só recorrente como importantíssimo para muitas disciplinas, não é?

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