Teorema de Laplace: o que é, como calcular e mais!

Desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simom Laplace, o teorema que leva o sobrenome do criador auxilia nos cálculos de determinantes de matrizes quadradas de ordem n. Basicamente, o Teorema de Laplace é uma forma de obter matrizes de ordem superior ou igual a 4. Isso porque as menores ou igual a 3 contam com regras práticas que auxiliam nos cálculos, considerados bem mais simples.

Para ajudá-lo a entender esse assunto da Matemática que frequentemente está presente em questões do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), elaboramos este post para auxiliá-lo em sua preparação. Confira!

O que é o Teorema de Laplace?

O teorema de Laplace é um método que ajuda no cálculo do determinante de uma matriz de ordem n para o de ordem n-1. Assim, ele pode ser aplicado várias vezes até que se chegue a matrizes 2 ou 3.

Na prática, é um cálculo que multiplica cada elemento de uma linha pelo seu cofator. Para simplificar as contas, é indicado escolher a linha ou coluna que apresente mais zeros. Isso porque, quando o elemento é 0, o produto acaba sendo nulo, ou seja, o cálculo do cofator não precisa ser realizado, facilitando o processo. Veja como encontrar o cofator.

O cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:

Aij = (-1) i + j. Dij

Onde:

• Aij: cofator de um elemento aij;
• i: linha onde se encontra o elemento;
• j: coluna onde se encontra o elemento;
• Dij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

Teorema de Laplace: 4×4

Para entender o teorema de Laplace, é preciso observar imagens que vão demonstrar que o menor complementar de um elemento de uma matriz quadrada é o determinante, eliminando a linha e a coluna a que o elemento pertence.

Assim, vamos a um exemplo: sabendo-se que A é a matriz quadrada, D acaba sendo o símbolo menor complementar que revela as linhas e colunas. A primeira dica é eliminar a linha e a coluna. Com o que sobrar, você vai montar o determinante. Veja no desenho abaixo.

Determine os cofatores dos elementos a₁₁ da matriz A.

O cofator do elemento a₁₁ será explicado determinado pela seguinte expressão:

Portanto, devemos definir o determinante da matriz D₁₁, matriz obtida retirando a 1ª linha e 1ª coluna da matriz A.

Com isso, podemos calcular o cofator A₁₁.

Como calcular com o teorema de Laplace?

Para você ficar mais familiarizado com o assunto, vamos apresentar alguns exemplos que demonstram a teoria citada.

Portanto, continue com a gente e analise como desenvolveremos cada exercício abaixo, sempre com foco na utilização do teorema de Laplace. Preparado? Então vamos nessa!

Teorema de Laplace: exercícios

1. Calcule o determinante:

Nessa questão, a dica é escolher a linha 3 para calcular o cofator, de acordo com o teorema de Laplace. Assim, teremos.

D= 7 . A31 + 4 . A32 + (-5). A33 + 0. A34

Ao calcular os determinantes individuais, obteremos uma matriz de ordem 3, pois retiramos a linha e a coluna do fator A31, somamos a posição: linha mais coluna: A 3 +1 = 4:

A31 = 1. ( 42 – 33)

A31 = 1. 9

A31 = 9

Faremos o mesmo processo com os demais:

A32 = (-1)⁵.  = 20

A33 = (-1)⁶ =  = 7

D = 7. 9 + 4. 20 + (-5). 7 + 0

D = 108

2. Qual o valor do determinante?

a) 1

b) 2

c) 0

d)-1

3° coluna

Utilizando o teorema de Laplace:

D = 1. A13 + 0. A23 + 0 . A33 + 0. A43

D = 1. (-1)

D = -1

A resposta é letra D.

3. O cofator do elemento A22 da matriz A =  é:

a) 1

b) 2

c) 4

d) – 3

Para determinar o cofator, vamos fazer o determinante da matriz sem a linha e a coluna em que esse elemento se encontra:

Assim, obtemos a seguinte matriz de ordem 2:

A22= – 3

Assim, a resposta é a letra D.

4. Qual o valor de:

A escolha da linha ou coluna para calcular o cofator é aleatória, mas, para facilitar, escolhemos aquela que tiver maior número de 0, assim teremos que fazer menos cálculos. Então, 2° coluna:

Utilizando o teorema de Laplace, temos:

D= 0. A12 + (-2) . A22 + 0 . A32 + 0. A42

D = (-2) . A22

D = (-2) . (-78)

D = 156

5. Vamos utilizar o teorema de Laplace para calcular o determinante da matriz A(4×4) abaixo:

Como podemos escolher qualquer linha ou coluna, vamos na linha 3.

DetA = 7.A₃₁ + 4.A₃₂ + (-5).A₃₃ + 0.A₃₄

 Calculando os cofatores, onde omitiremos os cálculos dos determinantes das matrizes 3×3:

DetA = 7.9 + 4.20 + (-5).7 + 0 = 108

Como o teorema de Laplace exige treinos e olhar analítico, a nossa dica é que você mantenha uma rotina de estudos de olho nos principais vestibulares do país e na prova do Enem.

Afinal, quanto mais exercícios de Matemática você fizer, maiores serão as chances de melhorar sua pontuação, abrindo caminho para a faculdade dos seus sonhos.

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