Teorema de Tales: o que é, como resolver e mais!

A Geometria Plana é uma matéria que constantemente é cobrada no Enem e em vários outros vestibulares tradicionais. O Teorema de Tales, além de envolver conceitos específicos de geometria plana, também exige do aluno muitas operações matemáticas com álgebra.

Desta forma, com objetivo de direcionar os seus estudos, preparamos este conteúdo explicando o que é Teorema de Tales, as suas aplicações, fórmulas e exercícios já cobrados em vestibulares anteriores. Boa leitura!

O que é o Teorema de Tales?

É um teorema que consegue relacionar medidas proporcionais de comprimento conforme uma dada disposição de retas paralelas e concorrentes.

Vale destacar, inicialmente, que para aprender como resolver Teorema de Tales é fundamental que o estudante entenda com clareza alguns conceitos de geometria, como:

Retas paralelas

São retas que não se cruzam, ou seja, em nenhum local do plano há um ponto em comum (interceptação) entre elas.

Retas concorrentes

Retas concorrentes são retas que se cruzam, em outras palavras, têm um ponto em comum entre elas.

Retas perpendiculares

São retas que têm um ângulo de 90º (conhecido também por ângulo reto) entre elas. Cabe frisar que retas perpendiculares também são retas concorrentes, as quais formam um ângulo reto no ponto de cruzamento.

Ângulo agudo

São ângulos que medem menos de 90º.

Ângulo obtuso

São ângulos que medem mais de 90º.

Teorema de Tales: como resolver?

A primeira coisa que precisamos identificar em uma atividade que pede a aplicação do Teorema de Tales é o conjunto de retas paralelas e retas concorrentes. Depois, devemos nomear (normalmente atribuindo letras do alfabeto) todos os pontos de encontro destas retas previamente identificadas.

Posteriormente, devemos aplicar a razão de proporção descrita por Tales, como no exemplo abaixo:

Considere duas retas concorrentes “r” e “s”, ambas interceptando 3 retas paralelas entre si “a”,”b” e “c”. Sabendo que:

• A – é ponto de encontro da reta “r” com a reta “a”;
• B – é o ponto abaixo de A, de encontro da reta “r” com a reta “b”;
• C – é o ponto abaixo de B, de encontro da reta “r” com a reta “c”;
• D – é o ponto de encontro da reta “s” com a reta “a”;
• E – é o ponto abaixo de D, de encontro da reta “s” com a reta “b”;
• F – é o ponto abaixo de E, de encontro da reta “s” com a reta “c”.

E, AB = 2X – 3; BC = x + 2; DE = 5 e EF = 6, ache o valor de x.

Com todos os pontos já identificados, bem como as retas concorrentes e paralelas reconhecidas, podemos montar relação de proporção estabelecida pelo Teorema de Tales, logo:

(AB)/(BC) = (DE)/(EF).

Substituindo pelos valores descritos acima, temos:

(2x -3)/(x+2) = 5/6

12x – 18 = 5x + 10

12x – 5x = 18 + 10

7x = 28

x = 4.

Deste modo, caso a questão perguntasse qual é o valor de AB e de BC, basta substituirmos x = 4 em suas respectivas equações, achando AB = 5 e BC = 6.

Como o Teorema de Tales pode aparecer nos triângulos?

O Teorema de Tales também pode ser aplicado em triângulos. Basta que haja um conjunto de retas concorrentes (sendo, geralmente, os lados do próprio triângulo) e um par de retas paralelas (comumente representada pela base do triângulo e uma reta logo acima que intercepta os dois lados concorrentes).

Acompanhe o exemplo abaixo sobre aplicação de Teorema de Tales em um triângulo:

Um quadrado é inscrito dentro de um triângulo de tal forma que a sua base inferior esteja alinhada com a base inferior do triângulo. Além disso, o lado superior do quadrado é delimitado exatamente pelos dois lados do triângulo, formando assim um triângulo menor logo acima.

Sabendo que a base do triângulo maior mede 32 cm, e, a sua altura relativa mede 16 cm, ache o lado do quadrado.

Neste exemplo as retas paralelas são compostas pelos lados do quadrado e as bases dos triângulos. Já as retas concorrentes são representadas pelas duas retas laterais do triângulo (lado esquerdo e direito). Chamando inicialmente o lado do quadrado de x, temos a montagem de Tales:

(16-x)/16 = x/32 em que:

• 16 – x = altura do triângulo menor;
• 16 = altura em cm do triângulo maior;
• x = lado do quadrado coincidente com a base do triângulo menor;
• 32 = base em cm do triângulo maior.

Resolvendo:

512 -32x = 16x

48x = 512

x = 10,66 cm.

Como este assunto pode aparecer no Enem?

Veja agora como que o Teorema de Tales pode cair no Enem.

1) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual a altura do poste?

Resolução

Aplicando Tales, temos:

x/12 = 1/0,6

0,6x = 12

x = 20m.

2) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente, ao caminhar sobre a rampa, percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:

a) 1,16 metros

b) 3,0 metros

c) 5,4 metros

d) 5,6 metros

e) 7,04 metros

Resolução

Alternativa correta letra “d”. Chamando de “y” a distância linear total da rampa, temos:

3,2/0,8 = y/2,2

7,04 = 0,8y

y = 8,8 m.

Contudo, devemos subtrair 8,8 por 3,2 para descobrirmos quanto que ainda falta de caminhada para completar a rampa, achando assim 5,6 m.

Agora que você já sabe o que é Teorema de Tales, bem como as formas de aplicá-lo em um exercício de geometria plana, é interessante você fazer mais exercícios para fixar bem essa matéria, aumentando suas chances de acertar este tipo de questão, caso caia no Enem.

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