Tronco de pirâmide: fórmulas, exercícios e mais!
A Geometria Sólida é uma matéria da Matemática que demanda do aluno tanto a aplicação de fórmulas quanto uma boa noção espacial para a resolução de exercícios. Entre essa matéria, há alguns conceitos específicos que comumente os alunos confundem na hora de interpretar os problemas, como é o caso em que há cortes em um sólido, originando, por exemplo, um tronco de pirâmide.
Com o objetivo de esclarecer mais sobre este assunto, preparamos um conteúdo explicando tudo sobre como entender a formação do tronco de uma pirâmide, como calcular sua área, seu volume e muito mais. Boa leitura.
O que é tronco de pirâmide?
Tronco de pirâmide nada mais é do que um sólido formado por uma seção transversal em uma pirâmide qualquer. Em outras palavras, é um sólido adquirido após um plano cortar a base de uma pirâmide paralelamente, separando-a assim em duas figuras, o tronco e uma pirâmide menor.
Tronco de pirâmide regular
Vale ressaltar que um tronco de pirâmide também pode ser classificado como regular: basta ele ser obtido por meio da seção transversal de uma pirâmide regular.
Neste contexto, para este tipo de tronco temos que considerar:
- arestas laterais congruentes;
- bases formadas por polígonos regulares;
- faces laterais caracterizadas por serem trapézios isósceles congruentes;
- altura de uma face lateral qualquer sendo nomeada por apótema.
Elementos do tronco da pirâmide
Por se tratar de uma figura sólida, o tronco é composto por arestas que recebem nomes próprios, facilitando a compreensão de sua posição espacial.
São elementos de um tronco de pirâmide:
- base maior – é o polígono que está oposto ao vértice da pirâmide, sendo a sua própria base;
- base menor – caracterizado por ser o polígono formado a partir da seção transversal (corte) da pirâmide;
- altura – a distância entre os dois polígonos destacados acima, base maior até a base menor.
Volume tronco de pirâmide
A questão mais comum que podemos fazer é como calcular o volume do tronco de pirâmide, até porque o tronco é um sólido que se diferencia dos outros, tendo assim suas próprias fórmulas e interpretações.
Para calcular o volume de um tronco de pirâmide, devemos aplicar a seguinte fórmula:
V = (h/3)(A1 + √ + A2)
Onde:
- V – volume do tronco;
- h – altura do tronco, reta que liga a base menor até a base maior;
- A1 – área da base maior do tronco;
- A2 – área da base menor do tronco.
É preciso destacar também que há outra forma de achar o volume de um tronco. Este método alternativo consiste em primeiramente achar o volume da pirâmide e, posteriormente, subtrair o volume da pirâmide menor, restando assim o volume do tronco que queremos encontrar.
Não confundir
Após cortar uma pirâmide de forma paralela à sua base, podemos estabelecer 3 alturas para os sólidos que foram formados.
Temos H como sendo a altura da pirâmide total, h como a altura do tronco e h` representando a altura da pirâmide menor. Deste modo, racionalmente podemos determinar que H = h + h`. Sendo assim, é fundamental que você não confunda esses 3 tipos de altura, pois uma vez que a fórmula seja aplicada com uma altura errada, o volume do tronco da pirâmide também estará errado.
Área tronco de pirâmide
Da mesma forma que há uma fórmula para o volume, também há uma fórmula para calcular a área do tronco de uma pirâmide, sendo A = A1 + A2 + Al, onde:
- A – área do tronco;
- A1 – área da base maior do tronco;
- A2 – área da base menor do tronco.
- Al – área lateral do tronco, encontrada pela soma das áreas dos trapézios que compõem o tronco.
Uma alternativa, caso você esqueça essa fórmula, é calcular a área da pirâmide e, posteriormente, subtrair a área da pirâmide menor (obtida após o corte), encontrando assim da mesma forma a área total do tronco da pirâmide.
Tronco de pirâmide: exercícios
Veja agora alguns exercícios que exigem do aluno a aplicação de fórmulas e conceitos acerca de tronco de pirâmide e que ainda podem aparecer na prova do Enem.
1) Ache o volume de um tronco de pirâmide o qual tem 10 m de altura e bases quadradas de lados 6 m e 4 m.
Resolução
Considerando:
h = 10 m;
área da base menor = 4² = 16 m²;
área da base maior = 6² = 36 m².
Basta agora aplicarmos a fórmula do volume do tronco. Acompanhe:
V = (h/3)(A1 + √ + A2)
V = (10/3)
V = 10/3(76)
V = 253,33 m³.
2) Um produtor de soja faz a estocagem de sua safra em um armazém com características de um tronco de pirâmide, de bases A1 = 36 m² e A2 = 25 m² e altura H = 6 m.
Sabendo que o volume de soja no armazém está preenchendo 60% do total, ache a quantidade de soja que está estocada.
Resolução
Basta calcularmos o volume do tronco e depois descontar 40% de volume vazio dentro do armazém. Veja abaixo:
H = 6 m;
área da base menor = 25 m²;
área da base maior = 36 m².
V = (h/3)(A1 + √ + A2)
V = (6/3)[25 + √25×36) + 36)
V = 2(91)
V = 182 m³.
Descontando 40% deste volume, achamos que o total de soja estocada é de 109,2 m³.
Portanto, agora que você já sabe o que é tronco de pirâmide, bem como calcular seu volume e sua área, é hora de praticar mais exercícios para que a matéria fique bem fixada. Vale lembrar ainda que, para fazer corretamente as atividades de Geometria Sólida, é preciso entender bem sobre Geometria Plana, ou seja, sempre que puder revise alguns conceitos e fórmulas.
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